午练18平面向量的数量积
一、选择题
1.在△ABC中，eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝9，AB＝3，点E满足eq\o(AE,\s\up6(→))＝2eq\o(EC,\s\up6(→))，则eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BE,\s\up6(→))＝()
A.－6 B.－3
C.3 D.6
答案B
解析eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))·(eq\o(AE,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)\o(AC,\s\up6(→))－\o(AB,\s\up6(→))))＝eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))2＝eq\f(2,3)×9－32＝－3.
2.已知a，b是相互垂直的单位向量，与a，b共面的向量c满足a·c＝b·c＝2，则c的模为()
A.1 B.eq\r(2)
C.2 D.2eq\r(2)
答案D
解析不妨设a，b分别为平面直角坐标系中x轴，y轴上的单位向量，则a＝(1，0)，b＝(0，1)，设c＝(x，y)，则a·c＝x＝2，b·c＝y＝2，所以c＝(2，2)，所以|c|＝eq\r(22＋22)＝2eq\r(2)，故选D.
3.已知点P是边长为2的正三角形ABC所在平面内一点，满足eq\o(PC,\s\up6(→))·(eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→)))＝0，则|eq\o(PB,\s\up6(→))|的最小值是()
A.eq\f(\r(5)－\r(2),2) B.eq\f(\r(2)－1,2)
C.1 D.eq\f(\r(7)－\r(3),2)
答案D
解析设边AB的中点为D，
则eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＝2eq\o(PD,\s\up6(→))，
eq\o(PC,\s\up6(→))·(eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→)))＝0，即为eq\o(PC,\s\up6(→))·eq\o(PD,\s\up6(→))＝0，
则点P在以CD为直径的圆上，且|eq\o(CD,\s\up6(→))|＝eq\r(3)，
则半径r＝eq\f(\r(3),2)，设CD的中点为O，则|eq\o(PB,\s\up6(→))|的最小值为|eq\o(OB,\s\up6(→))|－r
＝eq\r(12＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))\s\up12(2))－eq\f(\r(3),2)＝eq\f(\r(7)－\r(3),2).
4.(多选)已知向量a＝(1，eq\r(3))，b＝(λ，1)，
若(a－4b)·a＝4，则()
A.λ＝－eq\f(\r(3),3) B.|b|＝2
C.a∥b D.a⊥b
答案BD
解析由a＝(1，eq\r(3))，b＝(λ，1)，得a－4b＝(1－4λ，eq\r(3)－4)，∴(a－4b)·a＝1－4λ＋eq\r(3)(eq\r(3)－4)＝4，解得λ＝－eq\r(3)，故A错误；由λ＝－eq\r(3)，得b＝(－eq\r(3)，1)，
∴|b|＝eq\r(（－\r(3)）2＋1)＝2，故B正确；由a＝(1，eq\r(3))，b＝(－eq\r(3)，1)，得1×1－eq\r(3)×(－eq\r(3))＝4≠0，a与b不共线，故C错误；a·b＝－eq\r(3)＋eq\r(3)＝0，∴a⊥b，故D正确.故选BD.
5.(多选)对于给定的△ABC，其外心为O，重心为G，垂心为H，内心为Q，则下列结论正确的是()
A.eq\o(AO,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))2
B.eq\o(GA,\s\up6(→))·eq\o(GB,\s\up6(→))＝eq\o(GA,\s\up6(→))·eq\o(GC,\s\up6(→))＝eq\o(GB,\s\up6(→))·eq\o(GC,\s\up6(→))
C.eq\o(HA,\s\up6(→))＋eq\o(HB,\s\up6(→))＋eq\o(HC,\s\up6(→))＝0
D.