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阶段提能(八)空间向量的综合应用

1．(2024·天津高考)如图，已知直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AD⊥AB，AB∥CD，AA1＝2，AB＝2AD＝2，DC＝1，N是B1C1的中点，M是DD1的中点．

(1)求证：D1N∥平面CB1M；

(2)求平面CB1M与平面BB1C1C夹角的余弦值；

(3)求点B到平面CB1M的距离．

2．(2024·山东济南二模)如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为直角梯形，AB∥CD,∠DAB＝∠PCB＝60°，CD＝1，AB＝3，PC＝23，平面PCB⊥平面ABCD，F为线段BC的中点，E为线段PF上一点．

(1)证明：PF⊥AD；

(2)当EF为何值时，直线BE与平面PAD所成角的正弦值为74

3．(2024·湖北武汉二模)如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，底面是边长为6的等边三角形，CC1＝6，∠ACC1＝60°，D，E分别是线段AC，CC1的中点，平面ABC⊥平面C1CAA1．

(1)求证：A1C⊥平面BDE；

(2)若P为线段B1C1的中点，求平面PBD与平面BDE夹角的余弦值．

4．(2025·辽宁大连模拟)如图1，在△ABC中，CD⊥AB，BD＝2CD＝2AD＝4，E为AC的中点．将△ACD沿CD折起到△PCD的位置，使DE⊥BC，如图2．

(1)求证：PB⊥PC；

(2)在线段BC上是否存在点F，使得CP⊥DF？若存在，求平面PDF与平面DEF所成角的正弦值；若不存在，说明理由．