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洛必达法则

“洛必达法则”是高等数学中的一个重要定理，用分离参数法（避免分类讨论）解决能成立或恒成立问题时，经常需要求在区间端点处的函数值（最值），若出现00型或∞∞型可以考虑使用洛必达法则.

法则一若函数f（x）和g（x）满足下列条件：

（1）limx→af（x）＝0及limx→a

（2）在点a的去心邻域内，f（x）与g（x）可导且g（x）≠0；

（3）limx→af(x）g(x

法则二若函数f（x）和g（x）满足下列条件：

（1）limx→af（x）＝∞及limx→a

（2）在点a的去心邻域内，f（x）与g（x）可导且g（x）≠0；

（3）limx→af(x）g(x

提醒（1）将上面公式中的x→a换成x→＋∞，x→－∞，x→a＋，x→a－洛必达法则也成立；（2）洛必达法则可处理00，∞∞，0·∞，1∞，∞0，00，∞－∞型求最

一、利用洛必达法则处理00

已知函数f（x）＝x（ex－1）－ax2，当x≥0时，f（x）≥0，求a的取值范围.

规律方法

用洛必达法则处理00

（1）分离变量；

（2）出现00型式子

（3）运用洛必达法则求值.

二、利用洛必达法则处理∞∞

已知函数f（x）＝2ax3＋x，若x∈（1，＋∞）时，恒有f（x）＞x3－a，求a的取值范围.

规律方法

用洛必达法则处理∞∞

（1）分离变量；

（2）出现∞∞型式子

（3）运用洛必达法则求值.

1.已知函数f（x）＝ax－a－xlnx，若当x∈（0，1）时，f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围.

2.设函数f（x）＝sinx2+cosx，如果对任意x≥0，都有f（x）≤ax，求