洛必达法则
“洛必达法则”是高等数学中的一个重要定理，用分离参数法（避免分类讨论）解决能成立或恒成立问题时，经常需要求在区间端点处的函数值（最值），若出现00型或∞∞
法则一若函数f（x）和g（x）满足下列条件：
（1）limx→af（x）＝0及limx→a
（2）在点a的去心邻域内，f（x）与g（x）可导且g（x）≠0；
（3）limx→af(x）g(x
法则二若函数f（x）和g（x）满足下列条件：
（1）limx→af（x）＝∞及limx→a
（2）在点a的去心邻域内，f（x）与g（x）可导且g（x）≠0；
（3）limx→af(x）g(x
提醒（1）将上面公式中的x→a换成x→＋∞，x→－∞，x→a＋，x→a－洛必达法则也成立；（2）洛必达法则可处理00，∞∞，0·∞，1∞，∞0，00，∞－∞型求最
一、利用洛必达法则处理00
已知函数f（x）＝x（ex－1）－ax2，当x≥0时，f（x）≥0，求a的取值范围.
解：当x≥0时，f（x）≥0，即x（ex－1）≥ax2.
当x＝0时，a∈R；
当x＞0时，x（ex－1）≥ax2等价于a≤ex
令g（x）＝ex－1x，x∈（0，＋∞），则g（
记h（x）＝（x－1）ex＋1，x∈（0，＋∞），
则h（x）＝xex＞0，
因此h（x）＝（x－1）ex＋1在（0，＋∞）上单调递增，
且h（x）＞h（0）＝0，所以g（x）＝h（x）
从而g（x）＝ex－1x在（0，＋
所以a≤limx
由洛必达法则得limx→0g（x）＝limx→
即当x→0时，g（x）→1，所以g（x）＞1，即有a≤1.
综上所述，a的取值范围为（－∞，1].
规律方法
用洛必达法则处理00
（1）分离变量；
（2）出现00型式子
（3）运用洛必达法则求值.
二、利用洛必达法则处理∞∞
已知函数f（x）＝2ax3＋x，若x∈（1，＋∞）时，恒有f（x）＞x3－a，求a的取值范围.
解：当x∈（1，＋∞）时，f（x）＞x3－a，
即2ax3＋x＞x3－a，
即a（2x3＋1）＞x3－x，
即a＞x3－x
令φ（x）＝x3－x2x
∴φ（x）＝4x3+3
∴φ（x）在（1，＋∞）上单调递增，
由洛必达法则知limx→＋∞φ（x）＝limx→＋
∴φ（x）＜12，故a≥1
故实数a的取值范围为［12，＋∞）
规律方法
用洛必达法则处理∞∞
（1）分离变量；
（2）出现∞∞型式子
（3）运用洛必达法则求值.
1.已知函数f（x）＝ax－a－xlnx，若当x∈（0，1）时，f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围.
解：依题意，ax－a－xlnx≥0恒成立，
即a（x－1）≥xlnx恒成立，
又x－1＜0，∴a≤xlnxx
令φ（x）＝xlnxx－1，x
∴φ（x）＝x－
令g（x）＝x－1－lnx，x∈（0，1），
∴g（x）＝1－1x＜0
∴g（x）在（0，1）上单调递减，
∴g（x）＞g（1）＝0，
∴φ（x）＞0，即φ（x）在（0，1）上单调递增.
由洛必达法则知limx→0xlnxx－1＝limx→
∴φ（x）＞0，故a≤0，
综上，实数a的取值范围是（－∞，0].
2.设函数f（x）＝sinx2+cosx，如果对任意x≥0，都有f（x）≤ax，求
解：f（x）＝sinx2+cosx
若x＝0，则a∈R；
若x＞0，
则sinx2+cosx≤ax等价于a
令g（x）＝sinx
则g（x）＝2x
令h（x）＝2xcosx－2sinx－sinxcosx＋x，
h（x）＝2cosx－2xsinx－2cosx－cos2x＋1
＝－2xsinx－cos2x＋1
＝2sin2x－2xsinx＝2sinx（sinx－x），
因此，当x∈（0，π）时，h（x）＜0，h（x）在（0，π）上单调递减，且h（0）＝0，故g（x）＜0，
所以g（x）在（0，π）上单调递减，
而limx→0g（x）＝limx→
另一方面，当x∈[π，＋∞）时，
g（x）＝sinxx（2+cosx）≤
因此a≥13，故a的取值范围为［13，＋∞