海伦—秦九韶公式
通过人A必修二P55阅读与思考我们知道秦九韶公式S＝14［c2a2－（c2＋a2－b22）2］与海伦公式S＝p（p－
（1）在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，b＝a＋1，c＝a＋2，若2sinC＝3sinA，则△ABC的面积为1574；
（2）在△ABC中，设a，b，c分别为角A，B，C所对的边，记△ABC的面积为S，且满足bsinB＋2csinC＝4asinA，则Sa2的最大值为10
解析：（1）法一（常规解法）因为2sinC＝3sinA，则2c＝2（a＋2）＝3a，则a＝4，故b＝5，c＝6，cosC＝a2＋b2－c22ab＝18，所以C为锐角，则sinC＝1－cos2C＝378，因此，S△ABC
法二（海伦—秦九韶公式解法）因为2sinC＝3sinA，则2c＝2（a＋2）＝3a，则a＝4，故b＝5，c＝6，p＝12（a＋b＋c）＝15
S＝152×（
（2）依题可得：4a2＝b2＋2c2，代入海伦—秦九韶公式S＝14［a2c2－（a2＋c2－b22）2］可得，S
1.三角形的三边分别为a，b，c，秦九韶公式S＝14［a2c2－（c2＋a2－b22）2］和海伦公式S＝p（p－a)(p－b)(p－c），其中p＝a＋b＋c2是等价的，都是用来求三角形的面积.印度数学家婆罗摩笈多在公元
A.21 B.410
C.105 D.610
解析：D不妨令a＝3，b＝4，c＝5，d＝6，∴p＝3+4+5+62＝9，又易知0＜θ＜π，sinθ＞0，则S＝（p－a)(p－b)(p－c)(p－d)-abcdcos2θ＝6×5×4×
2.已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且acosC＋3asinC－b－c＝0.
（1）求A；
（2）若a＝2，且△ABC的面积为3，求b，c.
解：（1）由题意及正弦定理得sinAcosC＋3sinAsinC－sinB－sinC＝0.
又sinB＝sin[π－（A＋C）]＝sinAcosC＋cosAsinC，
所以（3sinA－cosA）sinC＝sinC，
由于C∈（0，π），所以sinC≠0，
所以2sin（A－π6）＝1，即sin（A－π6）＝
又A∈（0，π），A－π6∈（－π6，5
所以A－π6＝π6，故A＝
（2）法一由（1）知A＝π3，又a＝2，由余弦定理得b2＋c2－bc＝4，
由海伦—秦九韶公式与S＝3得14［b2c2－（b2＋c2－42
由①②解得b＝c＝2（负值已舍去）.
法二由（1）知A＝π3，又a＝2
由余弦定理得b2＋c2－bc＝4， ①
由S＝3得12bcsinπ3＝3，即bc＝4，
由①②解得b＝c＝2（负值已舍去）.