阶段提能(十二)空间中的平行与垂直
1.(1)外(2)中(3)垂[(1)∵PA=PB=PC,
∴OA=OB=OC,
∴点O是△ABC的外心.
(2)如图,由(1)知,点O是△ABC的外心,
又∠ACB=90°,
∴点O是斜边AB的中点.
(3)连接AO并延长交BC于点E,连接PE.
∵PA⊥PB,PC⊥PA,PB∩PC=P,PB,PC?平面PBC,
∴PA⊥平面PBC.
又BC?平面PBC,∴BC⊥PA.
∵PO⊥平面ABC,BC?平面ABC,
∴PO⊥BC.
又PO∩PA=P,PO,PA?平面PAE,
∴BC⊥平面PAE.
∵AE?平面PAE,
∴BC⊥AE.
同理可证HC⊥AB,BG⊥AC,
∴O是△ABC的垂心.]
2.解:(1)证明:直线PB与直线PD可确定平面γ,
且γ分别与α,β交于AC,BD.
因为α∥β,所以AC∥BD.
(2)由(1)知△PAC∽△PBD,所以PAPB=PC
所以PD=PB·PCPA=4+5×3
3.解:(1)证明:折叠前AD⊥AE,CD⊥CF,折叠后A′D⊥A′E,A′D⊥A′F,
又A′E∩A′F=A′,A′E,A′F?平面A′EF,
∴A′D⊥平面A′EF.
∵EF?平面A′EF,∴A′D⊥EF.
(2)由(1)可知,A′D⊥平面A′EF,
∴三棱锥D-A′EF的高A′D=AD=2,
又△A′EF折叠前为△BEF,
E,F分别为AB,BC的中点,
∴S△A′EF=S△BEF=12×1×1=1
∴VA′-EFD=VD-A′EF=13S△A′EF·A′D=13×12
4.C[对于A,B,若m∥α,n∥α,则m,n可能平行、相交或异面,故A,B错误.
对于C,D,若m∥α,n⊥α,则m⊥n,且m与n相交或异面,故D错误.故选C.]
5.A[对于①,当n?α时,因为m∥n,m?β,则n∥β;
当n?β时,因为m∥n,m?α,则n∥α;
当n既不在α内也不在β内时,因为m∥n,m?α,m?β,则n∥α且n∥β,故①正确;
对于②,若m⊥n,则n与α,β不一定垂直,故②错误;
对于③,过直线n分别作两平面与α,β分别相交于直线s和直线t,
因为n∥α,过直线n的平面与平面α的交线为直线s,则根据线面平行的性质定理知n∥s,
同理可得n∥t,则s∥t,因为s?平面β,t?平面β,则s∥平面β,
因为s?平面α,α∩β=m,则s∥m,又因为n∥s,则m∥n,故③正确;
对于④,若α∩β=m,n与α和β所成的角相等,如果n∥α,n∥β,则m∥n,故④错误.
综上只有①③正确,故选A.]
6.D[法一:如图,连接C1P,因为ABCD-A1B1C1D1是正方体,且P为B1D1的中点,所以C1P⊥B1D1,又C1P⊥BB1,所以C1P⊥平面B1BP.又BP?平面B1BP,所以C1P⊥BP.连接BC1,则AD1∥BC1,所以∠PBC1为直线PB与AD1所成的角.设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,则在Rt△C1PB中,C1P=12B1D1=2,BC1=22
sin∠PBC1=PC1BC1=12,所以∠PBC1=
法二:以B1为坐标原点,B1C1,B1A1,B1B所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(图略),设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,则B(0,0,2),P(1,1,0),D1(2,2,0),A(0,2,2),PB=(-1,-1,2),AD1=(2,0,-2).设直线PB与AD1所成的角为θ,则cosθ=PB·AD1PB
因为θ∈0,π2,所以θ=π6
7.D[由题意知△PAB为正三角形,因为PC2+PD2=CD2,所以PC⊥PD.
如图,分别取AB,CD的中点E,F,连接PE,EF,PF,则PE=23,PF=2,
EF=4,于是PE2+PF2=EF2,所以PE⊥PF.过点P作PG⊥EF,垂足为G.易知CD⊥PF,CD⊥EF,EF,PF?平面PEF,且EF∩PF=F,所以CD⊥平面PEF.又PG?平面PEF,所以CD⊥PG.又PG⊥EF,CD,EF?平面ABCD,CD∩EF=F,所以PG⊥平面ABCD,所以PG为四棱锥P-ABCD的高.由12PE·PF=12EF·PG,得PG=PE·PFEF=23×2
8.解:(1)证明:由题意得,EF∥MC,且EF=MC,所以四边形EFCM是平行四边形,所以EM∥FC.
又FC?平面BCF,EM?平面BCF,所以EM∥平面BCF.
(2)取DM的中点O,连接OA,OE(图略),因为AB∥MC,且AB=MC,所以四边形AMCB是平行四边形,所以AM=BC=10,
又AD=10,故△ADM是等腰三角形,同理△EDM是等边三角形,可得OA⊥DM,OE⊥DM,OA=AD2-DM22=3,OE=ED2-DM22=3,又A