重难专攻（一）函数中的构造问题
函数中的构造问题是高考考查的一个热点内容，经常以客观题出现（同构法构造函数也在解答题中出现），通过已知等式或不等式的结构特征，构造新函数，解决比较大小、解不等式、恒成立等问题.
导数型构造函数
技法1利用f（x）与xn构造
【例1】（1）已知偶函数f（x）（x≠0）的导函数为f（x），且满足f（－1）＝0，当x＞0时，2f（x）＞xf（x），则使得f（x）＞0成立的x的取值范围是；
（2）设f（x）是定义在R上的偶函数，当x＜0时，f（x）＋xf（x）＜0，且f（－4）＝0，则不等式xf（x）＞0的解集是.
答案：（1）（－1，0）∪（0，1）（2）（－∞，－4）∪（0，4）
解析：（1）构造F（x）＝f（x）x2，则F（x）＝f(x）·x－2f（x）x3，当x＞0时，xf（x）－2f（x）＜0，可以推出当x＞0时，F（x）＜0，F（x）在（0，＋∞）上单调递减.∵f（x）为偶函数，y＝x2为偶函数，∴F（x）为偶函数，∴F（x）在（－∞，0）上单调递增.根据f（－1）＝0可得F（－1）＝0，根据函数的单调性、奇偶性可得函数F（x）的图象如图所示，根据图象可知f（
（2）构造F（x）＝xf（x），则F（x）＝f（x）＋xf（x），当x＜0时，f（x）＋xf（x）＜0，可以推出当x＜0时，F（x）＜0，∴F（x）在（－∞，0）上单调递减.∵f（x）为偶函数，y＝x为奇函数，∴F（x）为奇函数，∴F（x）在（0，＋∞）上也单调递减.根据f（－4）＝0可得F（－4）＝0，根据函数的单调性、奇偶性可得函数F（x）的图象如图所示，根据图象可知xf（x）＞0的解集为（－∞，－4）∪（0，4）.
解题技法
利用f（x）与xn构造函数
（1）出现nf（x）＋xf（x）形式，构造函数F（x）＝xnf（x）；
（2）出现xf（x）－nf（x）形式，构造函数F（x）＝f（
技法2利用f（x）与ex构造
【例2】（2024·汕头一模）已知f（x）为定义在R上的可导函数，f（x）为其导函数，且f（x）＜f（x）恒成立，其中e是自然对数的底数，则（）
A.f（2024）＜ef（2025） B.ef（2024）＜f（2025）
C.ef（2024）＝f（2025） D.ef（2024）＞f（2025）
解析：B设函数g（x）＝f（x）ex，可得g（x）＝f(x)-f（x）ex，因为f（x）＜f（x），可得f（x）－f（x）＞0，所以g（x）＞0，可得g（x）为增函数，则f（2
解题技法
利用f（x）与ex构造函数
（1）出现f（x）＋nf（x）形式，构造函数F（x）＝enxf（x）；
（2）出现f（x）－nf（x）形式，构造函数F（x）＝f（
技法3利用f（x）与sinx，cosx构造
【例3】（2024·潍坊一模）已知函数f（x）的定义域为（0，π），其导函数是f（x）.若f（x）sinx－f（x）cosx＞0恒成立，则关于x的不等式f（x）＜2f（π6）sinx的解集为
答案：（0，π6
解析：令F（x）＝f（x）sinx，则F（x）＝f(x）sinx－f（x）cosxsin2x＞0，所以F（x）在定义域内是增函数.所以关于x的不等式f（x）＜2f（π6）sinx，可化为f（x）sinx＜f（π6）sinπ6，即F（x）＜F
解题技法
利用f（x）与sinx，cosx构造函数的常见类型
（1）F（x）＝f（x）sinx，F（x）＝f（x）sinx＋f（x）cosx；
（2）F（x）＝f（x）sinx，F
（3）F（x）＝f（x）cosx，F（x）＝f（x）cosx－f（x）sinx；
（4）F（x）＝f（x）cosx，F
1.已知R上的奇函数f（x），其导函数为f（x），且当x∈（0，＋∞）时，f（x）sinx＋f（x）cosx＜0，若a＝22f（－π6），b＝－f（π4），则a与b
答案：a＜b
解析：设φ（x）＝f（x）·sinx，则φ（x）＝f（x）sinx＋f（x）cosx，∴x∈（0，＋∞）时，φ（x）＜0，即φ（x）在（0，＋∞）上单调递减，又f（x）为奇函数，∴φ（x）为偶函数，∴φ（－π6）＝φ（π6）＞φ（π4），即f（－π6）sin（－π6）＞f（π4）sinπ4，即－12f（－π6）＞22f（π4），即22f（－π
2.已知定义在R上的函数f（x）满足f（x）＋f（x）＞0，且有f（3）＝3，则f（x）＞3e3－x的解集为.
答案：（3，＋∞）
解析：设F（x）＝f（x）·ex，则F（x）＝f（x）·ex＋f（x）·ex＝ex[f（x）＋f（x）]＞0，∴F（x）在R上单调递增.又f（3）＝3，