数列中的构造问题
求数列通项公式的方法除了我们前面学习过的公式法、累加法、累乘法，还有构造法，其总的思想是根据数列的递推公式，利用构造法转化为特殊的数列（等差、等比数列或可利用累加、累乘求解的数列）求解.
一、an＋1＝pan＋f（n）型
角度1形如an＋1＝can＋d（c≠0，1，d≠0）
（1）已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝3an＋4，n∈N*，则an＝3n－2；
解析：（1）设an＋1＋t＝3（an＋t），即an＋1＝3an＋2t，又an＋1＝3an＋4，根据对应项系数相等，解得t＝2，故an＋1＋2＝3（an＋2）.令bn＝an＋2，则b1＝a1＋2＝3，且bn+1bn＝an+1+2an+2＝3，所以{bn}是以3为首项，3为公比的等比数列，所以bn＝3×3n－1＝3n
（2）已知数列{an}满足an＋1＋2an＝3且a1＝2，其前n项和为Sn，则满足不等式｜Sn－n－13｜≥100的最小整数n为9
解析：（2）因为an＋1＋2an＝3，所以an＋1－1＝－2（an－1），且a1－1＝1，所以数列{an－1}是首项为1，公比为－2的等比数列，则an－1＝（－2）n－1，所以an＝1＋（－2）n－1，所以Sn＝n＋1-(-2）n1-(-2）＝n＋13－13（－2）n，因此不等式｜Sn－n－13｜≥100，即｜－13（－2）n｜≥100，即n≥log2300，因为28＝256＜300＜29＝512
规律方法
对于an＋1＝can＋d（c≠0，1，d≠0）形式的数列，引入参数λ，构造新数列{an＋dc－
角度2形如an＋1＝can＋dn＋b（c≠0，1，d≠0）
（1）已知数列{an}满足an＋1＝2an＋n，n∈N*，a1＝2，则an＝2n＋1－n－1；
解析：（1）令an＋1＋x（n＋1）＋y＝2（an＋xn＋y），即an＋1＝2an＋xn＋y－x，与原等式比较得x＝y＝1，所以an+1＋（n+1）+1an＋n+1＝2，所以数列{an＋n＋1}是以a1＋1＋1＝4为首项，2为公比的等比数列，所以an＋n＋1＝4×2n－1，
（2）已知a1＝1，当n≥2时，an＝12an－1＋2n－1，n∈N*，则an＝32n－1＋4
解析：（2）设an＋pn＋q＝12[an－1＋p（n－1）＋q]，即an＝12an－1－12pn－12p－12q，与原式比较，对应项系数相等得－12p=2，－12p－12q＝－1，解得p＝－4，q=6，首项a1－4＋6＝3，所以{an－4n＋6}是3为首项，12为公比的等比数列
规律方法
对于an＋1＝can＋dn＋b（c≠0，1，d≠0）形式的数列，引入参数x，y，构造新数列{an＋xn＋y}.
角度3形如an＋1＝can＋dn＋1（c≠0，1，d≠0，1）
（1）已知数列{an}满足a1＝3，an＋1＝3an＋2·3n＋1，n∈N*，则数列{an}的通项公式为（C）
A.an＝（2n＋1）·3n B.an＝（n－1）·2n
C.an＝（2n－1）·3n D.an＝（n＋1）·2n
解析：（1）由an＋1＝3an＋2·3n＋1得an+13n+1＝an3n＋2，∴an+13n+1－an3n＝2，即数列{an3n}是首项为1，公差为2的等差数列，∴a
（2）已知数列{an}中，a1＝56，an＋1＝13an＋（12）n＋1，n∈N*，则an＝32
解析：（2）法一设an＋1＋λ（12）n＋1＝13［an＋λ（12）n］，化简成原式结构得an＋1＝13an－13λ（12）n＋1，对应项系数相等得λ＝－3，设bn＝an－3（12）n，b1＝a1－3（12）1＝－23，所以数列{bn}是以－23为首项，13为公比的等比数列，则bn＝－23（13
法二将an＋1＝13an＋（12）n＋1两边同乘2n＋1，得2n＋1·an＋1＝23（2n·an）＋1.令bn＝2n·an，则bn＋1＝23bn＋1，又回到了角度1的方法，根据待定系数法，得bn＋1－3＝23（bn－3），所以数列{bn－3}是首项为b1－3＝2×56－3＝－43，公比为23的等比数列，所以bn－3＝－43·（23）n－1，即bn＝3－2·（23）n
法三将an＋1＝13an＋（12）n＋1两边分别除（13）n＋1，得3n＋1an＋1＝3nan＋（32）n＋1.令bn＝3n·an，则bn＋1＝bn＋（32）n＋1，所以bn－bn－1＝（32）n，bn－1－bn－2＝（32）n－1，…，b2－b1＝（32）2.将以上各式叠加，得bn－b1＝（32）2＋…＋（32）n－1＋（32）n.又b1＝3a1＝3×56＝52＝1＋32，所以bn＝1＋32＋（32）2＋…＋（32）n－1＋（32）n＝1·［1－