重难专攻（一）函数中的构造问题
【重点解读】函数中的构造问题是高考考查的一个热点内容，多以客观题的形式出现，通过构造一种新的函数关系，使问题在新函数下转化并利用函数的有关性质（单调性、极值、最值等），来解决比较大小、解不等式、恒成立等问题.
提能点1
导数型构造函数
角度1利用f（x）与xn构造函数
（1）（2025·烟台一模）设f（x）是定义在R上的偶函数，当x＜0时，f（x）＋xf（x）＜0，且f（－4）＝0，则不等式xf（x）＞0的解集为（D）
A.（－4，0）∪（0，4）
B.（－∞，－4）∪（4，＋∞）
C.（－4，0）∪（4，＋∞）
D.（－∞，－4）∪（0，4）
（2）已知函数f（x）的定义域为[0，＋∞），导函数为f（x），若f（x）＜f（x）x+1恒成立，则
A.f（2）＞f（3） B.2f（1）＞f（3）
C.f（5）＞2f（2） D.3f（5）＞f（1）
解析：（1）构造F（x）＝xf（x），则F（x）＝f（x）＋xf（x），当x＜0时，f（x）＋xf（x）＜0，可以推出当x＜0时，F（x）＜0，∴F（x）在（－∞，0）上单调递减.∵f（x）为偶函数，y＝x为奇函数，∴F（x）为奇函数，∴F（x）在（0，＋∞）上也单调递减.根据f（－4）＝0可得F（－4）＝0，根据函数的单调性、奇偶性可得函数F（x）的大致图象如图所示，根据图象可知xf（x）＞0的解集为（－∞，－4）∪（0，4）.
（2）因为f（x）＜f（x）x+1，x≥0，所以（x＋1）·f（x）－f（x）＜0，构造函数g（x）＝f（x）x+1，x≥0，则g（x）＝（x+1）f(x)-f（x）（x+1）2＜0，所以g（x）在定义域上是减函数，从而g（1）＞g（2）＞g（3）＞g（5），即f（1）2＞f（2）3＞f（3）4＞f（5
规律方法
利用f（x）与xn构造函数
（1）出现nf（x）＋xf（x）形式，构造函数F（x）＝xnf（x）；
（2）出现xf（x）－nf（x）形式，构造函数F（x）＝f（
角度2利用f（x）与ex构造函数
（2025·长春模拟）已知f（x）是定义在（－∞，＋∞）上的函数，导函数f（x）满足f（x）＜f（x）对于x∈R恒成立，则（）
A.f（2）＞e2f（0），f（2024）＞e2024f（0）
B.f（2）＜e2f（0），f（2024）＞e2024f（0）
C.f（2）＞e2f（0），f（2024）＜e2024f（0）
D.f（2）＜e2f（0），f（2024）＜e2024f（0）
解析：D构造F（x）＝f（x）ex，则F（x）＝f(x)-f（x）ex，又导函数f（x）满足f（x）＜f（x），则F（
规律方法
利用f（x）与ex构造函数
（1）出现f（x）＋nf（x）形式，构造函数F（x）＝enxf（x）；
（2）出现f（x）－nf（x）形式，构造函数F（x）＝f（
角度3利用f（x）与sinx，cosx构造函数
（2024·潍坊一模）已知函数f（x）的定义域为（0，π），其导函数是f（x）.若f（x）sinx－f（x）·cosx＞0恒成立，则关于x的不等式f（x）＜2f（π6）sinx的解集为（）
A.（0，π6） B.（0，π
C.（0，π3） D.（0，π
解析：A令F（x）＝f（x）sinx，则F（x）＝f(x）sinx－f（x）cosxsin2x＞0，所以F（x）在定义域内是增函数.所以关于x的不等式f（x）＜2f（π6）·sinx，可化为f（x）sinx＜f（π6）sinπ6，即F（x）＜F（π6）.因为
规律方法
利用f（x）与sinx，cosx构造函数的常见类型
（1）F（x）＝f（x）sinx，F（x）＝f（x）sinx＋f（x）·cosx；
（2）F（x）＝f（x）sinx，F
（3）F（x）＝f（x）cosx，F（x）＝f（x）cosx－f（x）sinx；
（4）F（x）＝f（x）cosx，F
练1（1）（2025·南昌模拟）已知定义在R上的函数f（x）满足f（x）＋f（x）＞0，且有f（3）＝3，则f（x）＞3e3－x的解集为（D）
A.（－∞，－3） B.（－3，0）
C.（0，3） D.（3，＋∞）
解析：（1）设F（x）＝f（x）·ex，则F（x）＝f（x）·ex＋f（x）·ex＝ex[f（x）＋f（x）]＞0，∴F（x）是增函数.又f（3）＝3，则F（3）＝f（3）·e3＝3e3.∵f（x）＞3e3－x等价于f（x）·ex＞3e3，即F（x）＞F（3），∴x＞3，即所求不等式的解集为（3，＋∞）.
（2）设f（x）为定义在R上的奇函数，f（－3）＝0.当x＞0时，xf（x）＋2f（x）＞0，其中