课后习题(四十三)空间点、直线、平面之间的位置关系
1．D[α∥β，说明a与b无公共点，
∴a与b可能平行，也可能是异面直线．]
2．BC[
选项
正误
原因
A
×
若α∥β，a?α，b?β，则a与b平行或异面
B
√
若a∥b，b?α，则平面α内所有与b平行的直线都与a平行
C
√
若α∥β，则平面α内所有直线都与β平行，因为a?α，所以a∥β
D
×
若α∩β＝b，a?α，则当a∥b时，a∥β
故选BC．]
3．D[把展开图还原成正方体，如图所示．
还原后点G与C重合，点B与F重合，由图可知A，B，C说法正确，EF与AB相交，故D错误．故选D．]
4．D[根据题意还原正四棱柱的直观图，如图所示，取AA1的中点G，连接KG，则有KG∥LM，所以∠AKG或其补角为异面直线AK和LM所成的角．由题知AG＝2，AK＝KG＝1+1＝2，则有AK2＋KG2＝AG2，所以∠AKG＝90°，即异面直线AK和LM所成角的大小为90°．故选D．]
5．B[根据题意，连接AC，则A1C1∥AC，
∴A1，C1，C，A四点共面，
∴A1C?平面ACC1A1，∵M∈A1C，∴M∈平面ACC1A1，
又M∈平面AB1D1，∴M在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上，
同理O在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上，
∴A，M，O三点共线，∴A选项错误，B选项正确；
由异面直线的判定定理可知C选项中OM与DD1为异面直线，∴C选项错误；
由异面直线的判定定理可知D选项中AB1与BM为异面直线，∴D选项错误．
故选B．]
6．ABD[由正方体性质，AA1∥CC1，所以A，C，C1，A1四点共面，A正确；
∵直线A1C交平面C1BD于点M，
∴M∈平面C1BD，M∈直线A1C，
又A1C∈平面ACC1A1，
∴M∈平面ACC1A1，
∵O为DB的中点，BD?平面C1BD，底面ABCD为正方形，
所以O为AC的中点，
∴O∈平面C1BD，且O∈平面ACC1A1，
又C1∈平面C1BD，且C1∈平面ACC1A1，平面C1BD与平面ACC1A1相交，
则C1，M，O在交线上，即三点共线，故选项B正确；
平面BB1D1D∩平面C1BD＝BD，M∈平面C1BD，但M?BD，
所以M?平面BB1D1D，C错误；
A1C∩平面ABCD＝C，BD?平面ABCD，C?BD，
所以A1C与BD为异面直线，D正确．
故选ABD．]
7．D[取AB的中点为F，连接EF，A1F，如图，
因为E为棱AC的中点，F为AB的中点，所以EF∥BC，
所以∠A1EF为异面直线A1E与BC所成的角(或其补角)，
因为在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝AA1＝4，
所以A1E＝A1A2+AE2＝25，A1F＝25，EF＝12BC＝2，所以在△A1EF中，cos∠A1EF
所以异面直线A1E与BC所成角的余弦值为510．故选D．
8．62＋45[如图，取AD中点H，连接EH，A1D，
在正方体ABCD-A1B1C1D1中，因为E是AA1的中点，H为AD中点，
所以EH∥A1D，EH＝12A1D
又在正方体ABCD-A1B1C1D1中，A1B1∥DC，A1B1＝DC，
所以四边形A1B1CD为平行四边形，
所以A1D∥B1C，所以EH∥B1C，
故梯形EB1CH即为平面B1CE截正方体ABCD-A1B1C1D1所得的截面，
由已知，EH＝4+4＝22，B1E＝16+4＝25，B1C＝16+16＝42，CH＝16+4＝25，
则截面周长为EB1＋B1C＋HC＋EH＝45＋62．]
9．解：(1)证明：平面ABCD∩平面CDD1C1＝DC，
由于Q∈EF?平面ABCD，Q∈HG?平面CDD1C1，
所以Q∈DC，即点Q在直线DC上．
(2)根据正方体的性质可知A1B1∥DC，
所以异面直线EF与A1B1所成角为∠DQE，
由于AB∥DC，E，F分别是AB，BC的中点，
所以∠DQE＝∠FEB＝45°，
所以异面直线EF与A1B1所成角的大小为45°．