数列的重组问题
重组数列是指由已知数列通过插项、去项或由已知的两个数列的公共项得到新数列，解决此类问题要弄清楚重组数列与已知数列的关系，确定重组数列的特征，以此来解决问题.
一、公共项与并项问题
（1）（2025·漳州第一次质量检测）将数列{3n－1}与{2n}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则a20＝（）
A.237B.238 C.239D.240
（2）若数列{4n－3}和{3n}的所有项分别构成集合A，B，将A∪B的元素按从小到大的顺序依次排列构成一个新数列{cn}，则c1＋c2＋c3＋…＋c20＝.
听课记录
规律方法
1.两个等差数列的公共项是等差数列，且公差是两等差数列公差的最小公倍数；两个等比数列的公共项是等比数列，公比是两个等比数列公比的最小公倍数；等差数列与等比数列的公共项是等比数列.
2.解决两数列并项问题的关键是正确理解A∪B中的元素特征并准确找出两个数列的公共项.
二、增、减项问题
（2025·滨州一模）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a4＝7，S5＝25.
（1）求{an}的通项公式；
（2）保持数列{an}中各项先后顺序不变，在ak与ak＋1（k＝1，2，…）之间插入2k－1个3，使它们和原数列的项构成一个新的数列{bn}，求{bn}的前150项和T150.
规律方法
解决此类问题的关键是通过阅读理解题意，弄清楚增加了（减少了）多少项，增加（减少）的项有什么特征，在求新数列的和时，一般采用分组求和法，即把原数列部分和增加（减少）部分分别求和，再相加（相减）即可.
三、区间取值数列
已知数列{an}是等差数列，a1＝1，且a1，a2，a5－1成等比数列.给定k∈N*，记集合{n｜k≤an≤2k，n∈N*}的元素个数为bk.
（1）求b1，b2的值；
（2）求最小自然数n的值，使得b1＋b2＋…＋bn＞2025.
规律方法
“区间取值数列问题”：记数列{an}落在区间（0，g（k）]的个数为bk，讨论数列{bk}的性质.求解这类问题的关键就是利用数列自变量n的计数功能，通过不等式0＜an≤g（k）?n，由于n为正整数，从而实现对自变量n的计数.此类题目的计算背景主要分布在解下面三个不等式：（1）qm＜kn＋b＜qm＋1；（2）tm＜qn＜tm＋1；（3）tk＋b＜qn＜t（k＋i）＋b.
1.已知an＝12n－1，bn＝1（n+1）2－1，n∈N*，将数列{an}与数列{bn}的公共项按从小到大的顺序排列，组成一个新数列{cn
2.已知an＝3n＋1，bn＝2n＋1，将数列{an}和{bn}的项从小到大依次排列（相等项计两项）得到新数列{cn}，则{cn}的前50项的和为.
3.已知数列{bn}的前n项和为Sn，且Sn＝n2＋n，在等比数列{an}中，a1＝b1，a4＝b8.
（1）求{bn}与{an}的通项公式；
（2）若{bn}中去掉{an}的项后余下的项按原顺序组成数列{cn}，求{cn}的前20项和.
4.已知公比大于1的等比数列{an}满足a2＋a4＝20，a3＝8.
（1）求{an}的通项公式；
（2）记bm为{an}在区间（0，m]（m∈N*）中的项的个数，求数列{bm}的前100项和S100.