第九节函数模型的应用
1.理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具；在实际情境中，会选择合适的函数类型刻画现实问题的变化规律.
2.结合现实情境中的具体问题，利用计算工具，比较对数函数、一元一次函数、指数函数增长速度的差异，理解“对数增长”“直线上升”“指数爆炸”等术语的现实含义.
3.感悟数学模型中参数的现实意义.
1.（教材题改编）在某个物理实验中，测得变量x和变量y的几组数据，如下表：
x
0.50
0.99
2.01
3.98
y
－0.99
－0.01
0.98
2.00
则对x，y最适合的拟合函数是（）
A.y＝2x B.y＝x2－1
C.y＝2x－2 D.y＝log2x
解析：D根据x＝0.50，y＝－0.99，代入计算，可以排除A；根据x＝2.01，y＝0.98，代入计算，可以排除B、C；将各数据代入函数y＝log2x，可知满足题意.
2.（2024·平顶山模拟）点声源在空间中传播时，衰减量ΔL与传播距离r（单位：米）的关系式为ΔL＝10lgπr24（单位：dB），取lg5≈0.7，则r从10米变化到40米时，衰减量的增加值约为
A.9dB B.12dB
C.15dB D.18dB
解析：B当r＝10时，ΔL1＝10lg25π，当r＝40时，ΔL2＝10lg400π，则衰减量的增加值约为：ΔL2－ΔL1＝10lg400π－10lg25π＝40lg2＝40（lg10－lg5）≈40×（1－0.7）＝12.故选B.
3.下面对函数f（x）＝log12x与g（x）＝12x在区间（0，＋∞）
A.f（x）的衰减速度越来越慢，g（x）的衰减速度越来越快
B.f（x）的衰减速度越来越快，g（x）的衰减速度越来越慢
C.f（x）的衰减速度越来越慢，g（x）的衰减速度越来越慢
D.f（x）的衰减速度越来越快，g（x）的衰减速度越来越快
解析：C在同一平面直角坐标系中画出f（x）与g（x）图象如图所示，由图象可判断出衰减情况为：f（x）的衰减速度越来越慢；g（x）的衰减速度越来越慢，故选C.
4.已知某物体的温度Q（单位：摄氏度）随时间t（单位：分钟）的变化规律为Q＝m·2t＋21－t（t≥0，且m＞0）.若物体的温度总不低于2摄氏度，则m的取值范围是.
答案：［12，＋∞
解析：由题意得，m·2t＋21－t≥2恒成立（t≥0，且m＞0），又m·2t＋21－t≥22m，∴22m≥2，∴m≥
用函数图象刻画变化过程
1.（2024·沈阳一模）如图，一高为H且装满水的鱼缸，其底部有一排水小孔，当小孔打开时，水从孔中匀速流出，水流完所用时间为T.若鱼缸水深为h时，水流出所用时间为t，则函数h＝f（t）的图象大致是（）
解析：B水匀速流出，所以鱼缸水深h先降低快，中间降低缓慢，最后降低速度又越来越快.
2.如图，有一直角墙角，两边的长度足够长，若P处有一棵树与两墙的距离分别是4m和am（0＜a＜12）.不考虑树的粗细，现用16m长的篱笆，借助墙角围成一个矩形花圃ABCD，设此矩形花圃的最大面积为u，若将这棵树围在矩形花圃内，则函数u＝f（a）（单位：m2）的图象大致是（）
解析：B设AD的长为xm，则CD的长为（16－x）m，则矩形ABCD的面积为x（16－x）m2.因为要将点P围在矩形ABCD内，所以a≤x≤12.当0＜a≤8时，当且仅当x＝8时，u＝64；当8＜a＜12时，u＝a（16－a）.画出函数图象可得其形状与B选项接近，故选B.
3.为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改.设企业的污水排放量W与时间t的关系为W＝f（t），用－f（b)-f（a）b－a的大小评价在
给出下列四个结论：
①在[t1，t2]这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；
②在t2时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强；
③在t3时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标；
④甲企业在[0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]这三段时间中，在[0，t1]的污水治理能力最强.其中所有正确结论的序号是.
答案：①②③
解析：由题图可知甲企业的污水排放量在t1时刻高于乙企业，而在t2时刻甲、乙两企业的污水排放量相同，故在[t1，t2]这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强，故①正确；由题图知在t2时刻，甲企业对应的关系图象斜率的绝对值大于乙企业的，故②正确；在t3时刻，甲、乙两企业的污水排放量都低于污水达标排放量，故都已达标，③正确；甲企业在[0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]这三段时间中，在[0，t1]的污水治理能力明显低于[t1，t2]时的，故④错误.
练后悟通
用函数图象刻画变化过程的2种方法