第3节等比数列及其前n项和
【课标要求】（1）通过生活中的实例，理解等比数列的概念和通项公式的意义；（2）掌握等比数列前n项和公式，理解等比数列的通项公式与前n项和公式的关系；（3）能在具体问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题；（4）体会等比数列与指数函数的关系.
知识点一等比数列的有关概念
1.定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示（显然q≠0），符号表示为an+1an＝q（n
2.等比中项：如果a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项.即G是a与b的等比中项?a，G，b成等比数列?G2＝ab.
提醒只有当两个数同号时，这两个数才有等比中项，且等比中项有两个，它们互为相反数.
3.等比数列的有关公式
（1）通项公式：an＝a1qn－1；
（2）前n项和公式：Sn＝na1，q=1
（1）（人A选二P34练习1题改编）在1和9之间插入三个数，使这五个数组成正项等比数列，则中间三个数的积等于（D）
A.－27 B.－3
C.3 D.27
解析：（1）由a1＝1，a5＝9，所以a2a4＝a32＝9，所以a3＝3或a3＝－3（舍去），所以a2a3a4＝
（2）（2023·全国甲卷理5题）设等比数列{an}的各项均为正数，前n项和为Sn，若a1＝1，S5＝5S3－4，则S4＝（C）
A.158 B.
C.15 D.40
解析：（2）法一若该数列的公比q＝1，代入S5＝5S3－4中，有5＝5×3－4，不成立，所以q≠1.由1－q51－q＝5×1－q31－q－4，化简得q4－5q2＋4＝0，所以q2＝1（舍）或q2＝4，由于此数列各项均为正数，所以q＝2
法二由已知得1＋q＋q2＋q3＋q4＝5（1＋q＋q2）－4，整理得（1＋q）（q3－4q）＝0，由于此数列各项均为正数，所以q＝2，所以S4＝1＋q＋q2＋q3＝1＋2＋4＋8＝15.故选C.
规律方法
等比数列基本量运算的解题策略
（1）等比数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程（组）求解；
（2）解方程组时常常利用“作商”消元法；
（3）运用等比数列的前n项和公式时，一定要讨论公比q＝1的情形，否则会漏解或增解.
练1（1）（2025·洛平许济质量检测）已知等比数列{an}的公比为q，若a1＋a2＝12，且a1，a2＋6，a3成等差数列，则q＝（C）
A.32 B.－
C.3 D.－3
解析：（1）∵a1，a2＋6，a3成等差数列，∴2（a2＋6）＝a1＋a3，又a1＋a2＝12，∴2（12－a1＋6）＝a1＋a3，整理可得3a1＋a3＝3a1＋a1q2＝36，∴a1＋a23a1＋a3＝1+q3+q2＝1236＝13
（2）如图，在边长为1的正方形中，阴影部分的面积构成数列{an}的前4项，则a5＝341512；并以此猜想an＝23（1－14
解析：（2）由图得a1＝12，a2＝12＋（12）3＝58，a3＝12＋（12）3＋（12）5＝2132，a4＝12＋（12）3＋（12）5＋（12）7＝85128，a5＝12＋（12）3＋（12）5＋（12）7＋（12
知识点二等比数列的性质
角度1项的性质
1.等比数列通项公式的推广：an＝amqn－m（n，m∈N*）.
2.若m＋n＝p＋q，则aman＝apaq，其中m，n，p，q∈N*.特别地，若2w＝m＋n，则aman＝aw2，其中m，n，w∈N
3.ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列，公比为qm（k，m∈N*）.
4.若a10，q1或a10，0q
若a10，0q1或a10，q
（1）（2025·滁州一模）已知{an}是单调递增的等比数列，a4＋a5＝24，a3a6＝128，则公比q＝（A）
A.2 B.－2
C.3 D.－3
解析：（1）因为{an}是等比数列，所以a4a5＝a3a6＝128，则a4＋a5=24，a4a5=128，解得a4=8，a5=16或a4
（2）在等比数列{an}中，a2＋a3＋a4＝2＋32，a5＋a6＋a7＝12＋42，则a1＝（B）
A.2 B.1
C.12 D.
解析：（2）设等比数列{an}的公比为q，则a5＋a6＋a7＝q3（a2＋a3＋a4），即12＋42＝（2＋32）q3，解得q3＝22，即q＝2，所以2a1＋2a1＋22a1＝2＋32，解得a1＝1.
变式在正项等比数列{an}中，若a1＋a3＋a5＝20，1a1＋1a3＋1a5＝4，
A.2 B.2
C.5 D.4
解析：C由题可知a1＋a3＋a5＝20