数列的重组问题
重组数列是指由已知数列通过插项、去项或由已知的两个数列的公共项得到新数列，解决此类问题要弄清楚重组数列与已知数列的关系，确定重组数列的特征，以此来解决问题.
一、公共项与并项问题
（1）（2025·漳州第一次质量检测）将数列{3n－1}与{2n}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则a20＝（C）
A.237 B.238C.239 D.240
解析：（1）令3t－1＝2m，得t＝2m+13＝（3－1）m+13＝∑i=0mCmi3m－i(-1）i+13＝3k＋(-1）m+13，k∈N*，当m是正奇数，即m＝2n
（2）若数列{4n－3}和{3n}的所有项分别构成集合A，B，将A∪B的元素按从小到大的顺序依次排列构成一个新数列{cn}，则c1＋c2＋c3＋…＋c20＝660.
解析：（2）设an＝4n－3，bn＝3n，a20＝77，令bn＜77，则n＝1，2，3，所以b1＝3，b2＝9，b3＝27.在新数列{cn}的前20项中，因为a3＝9与b2＝9为公共项，所以前20项为数列{an}中的18项以及b1，b3.故T20＝a1＋a2＋a3＋…＋a18＋b1＋b3＝18×1＋18×172×4＋3＋27
规律方法
1.两个等差数列的公共项是等差数列，且公差是两等差数列公差的最小公倍数；两个等比数列的公共项是等比数列，公比是两个等比数列公比的最小公倍数；等差数列与等比数列的公共项是等比数列.
2.解决两数列并项问题的关键是正确理解A∪B中的元素特征并准确找出两个数列的公共项.
二、增、减项问题
（2025·滨州一模）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a4＝7，S5＝25.
（1）求{an}的通项公式；
解：（1）因为{an}为等差数列，则S5＝5a3＝25，
即a3＝5，
可得d＝a4－a3＝2，a1＝a3－2d＝1，
所以an＝1＋2（n－1）＝2n－1.
（2）保持数列{an}中各项先后顺序不变，在ak与ak＋1（k＝1，2，…）之间插入2k－1个3，使它们和原数列的项构成一个新的数列{bn}，求{bn}的前150项和T150.
解：（2）因为在ak与ak＋1（k＝1，2，…）之间插入2k－1个3，
可知ak（k≥2）在数列{bn}中对应的项数为n＝k＋20＋21＋…＋2k－2＝k＋1－2k－11－2＝2k－1＋k－1，
当k＝8时，则n＝27＋7＝135，即a8＝b135；
当k＝9时，则n＝28＋8＝264，即a9＝b264；
由题意可知b136＝b137＝…＝b150＝3，
所以T150＝S8＋3×（150－8）＝8×（1+15）2
规律方法
解决此类问题的关键是通过阅读理解题意，弄清楚增加了（减少了）多少项，增加（减少）的项有什么特征，在求新数列的和时，一般采用分组求和法，即把原数列部分和增加（减少）部分分别求和，再相加（相减）即可.
三、区间取值数列
已知数列{an}是等差数列，a1＝1，且a1，a2，a5－1成等比数列.给定k∈N*，记集合{n｜k≤an≤2k，n∈N*}的元素个数为bk.
（1）求b1，b2的值；
解：（1）设等差数列{an}的公差为d，由a1，a2，a5－1成等比数列，得a1（a5－1）＝a22，即1×（1＋4d－1）＝（1＋d）2，解得d＝
所以an＝n.
当k＝1时，集合{n｜1≤n≤2，n∈N*}中元素个数为b1＝2，
当k＝2时，集合{n｜2≤n≤4，n∈N*}中元素个数为b2＝3.
（2）求最小自然数n的值，使得b1＋b2＋…＋bn＞2025.
解：（2）由（1）知bk＝2k－k＋1，b1＋b2＋…＋bn＝2（1－2n）1－2－n（n+1）2
当n＝10时，2（2n－1）－n22＋n2＝2001＜2
当n＝11时，2（2n－1）－n22＋n2＝4039＞2
记Tn＝b1＋b2＋…＋bn，
显然数列{Tn}是递增数列，所以所求n的最小值是11.
规律方法
“区间取值数列问题”：记数列{an}落在区间（0，g（k）]的个数为bk，讨论数列{bk}的性质.求解这类问题的关键就是利用数列自变量n的计数功能，通过不等式0＜an≤g（k）?n，由于n为正整数，从而实现对自变量n的计数.此类题目的计算背景主要分布在解下面三个不等式：（1）qm＜kn＋b＜qm＋1；（2）tm＜qn＜tm＋1；（3）tk＋b＜qn＜t（k＋i）＋b.
1.已知an＝12n－1，bn＝1（n+1）2－1，n∈N*，将数列{an}与数列{bn}的公共项按从小到大的顺序排列，组成一个新数列{cn}，则数列
解析：因为数列{2n－1}是正奇数数列，对于数列{（n＋1）2－1}，当n为奇数时，（n＋1）2－1为奇数，当n为偶数时，（n＋1）2－1为偶数，所以数列{