重难专攻（十三）圆锥曲线中的创新类问题
【重点解读】随着高考改革的不断深入，高考对学生知识迁移能力、数学思维能力、探究能力的考查不断加强，圆锥曲线中的创新类问题成为了高考命题的热点，圆锥曲线中的创新类问题一般可分为两类：一是“新定义曲线”（如2024·新高考Ⅰ卷11题），二是“新定义交汇题”（如2024·新高考Ⅱ卷19题）.对于“新定义曲线”类问题，要研透“新曲线”的定义和性质，从特殊到一般，结合已学过的知识、方法去解决问题.对于“新定义交汇题”，圆锥曲线可与函数、数列、向量等结合，解这类问题要在深刻理解对应知识的基础上，发现并挖掘题目中蕴含的信息，灵活变换角度，转化为“熟悉”的问题去解决.
提能点1
新定义曲线
〔多选〕（2024·新高考Ⅰ卷11题）设计一条美丽的丝带，其造型可以看作图中的曲线C的一部分.已知C过坐标原点O，且C上的点满足：横坐标大于－2；到点F（2，0）的距离与到定直线x＝a（a＜0）的距离之积为4.则（）
A.a＝－2
B.点（22，0）在C上
C.C在第一象限的点的纵坐标的最大值为1
D.当点（x0，y0）在C上时，y0≤4
听课记录
规律方法
对于“新定义曲线”类问题，理解“新曲线”的定义（方程）是关键，通过“新曲线”的定义（方程）结合图形，与学过的研究圆锥曲线的思路及方法进行合理联想，利用曲线与方程思想即可解决问题.
练1在平面直角坐标系xOy中，对于直线l：ax＋by＋c＝0和点P1（x1，y1），P2（x2，y2），记η＝（ax1＋by1＋c）（ax2＋by2＋c），若η＜0，则称点P1，P2被直线l分隔，若曲线C与直线l没有公共点，且曲线C上存在点P1，P2被直线l分隔，则称直线l为曲线C的一条分隔线.
（1）求证：点A（1，2），B（－1，0）被直线x＋y－1＝0分隔；
（2）若直线y＝kx是曲线x2－4y2＝1的分隔线，求实数k的取值范围；
（3）动点M到点Q（0，2）的距离与到y轴的距离之积为1，设点M的轨迹为曲线E，求证：通过原点的直线中，有且仅有一条直线是E的分隔线.
提能点2
新定义交汇问题
〔多选〕箕舌线因意大利著名的女数学家玛丽亚·阿涅西的深入研究而闻名于世.如图所示，过原点的动直线交定圆x2＋y2－ay＝0（a＞0）于点P，交直线y＝a于点Q，过P和Q分别作x轴和y轴的平行线交于点M，则点M的轨迹叫做箕舌线.记箕舌线函数为f（x），设∠AOQ＝θ，下列说法正确的是（）
A.f（x）是偶函数
B.点M的横坐标为xM＝a
C.点M的纵坐标为yM＝acos2θ
D.f（x）的值域是（－∞，1]
听课记录
规律方法
本题虽然定义的新的曲线“箕舌线”，其实质可转化为该曲线是关于动点M横坐标x0为自变量的函数f（x0）的图象认识，又因该函数的自变量x0随∠AOQ＝θ的变化而变化，且－π2＜θ＜π2.根据定义“箕舌线”形成的几何特征，“箕舌线”上动点M的横、纵坐标均可转化为用关于θ的函数表示，
练2（2024·日照一模）已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为12，经过点F1且倾斜角为θ（0＜θ＜π2）的直线l与椭圆交于A，B两点（其中点A在x轴上方），且△ABF2的周长为8.将平面xOy沿x轴向上折叠，使二面角A-F1F2-B为直二面角，如图所示，折叠后
（1）当θ＝π3时
①求证：AO⊥BF2；
②求平面AF1F2和平面ABF2所成角的余弦值；
（2）是否存在θ（0＜θ＜π2），使得折叠后△ABF2的周长为152？若存在，求tanθ的值；若不存在，
提示：完成课后作业第八章重难专攻（十三）