重难专攻（十三）圆锥曲线中的创新类问题
【重点解读】随着高考改革的不断深入，高考对学生知识迁移能力、数学思维能力、探究能力的考查不断加强，圆锥曲线中的创新类问题成为了高考命题的热点，圆锥曲线中的创新类问题一般可分为两类：一是“新定义曲线”（如2024·新高考Ⅰ卷11题），二是“新定义交汇题”（如2024·新高考Ⅱ卷19题）.对于“新定义曲线”类问题，要研透“新曲线”的定义和性质，从特殊到一般，结合已学过的知识、方法去解决问题.对于“新定义交汇题”，圆锥曲线可与函数、数列、向量等结合，解这类问题要在深刻理解对应知识的基础上，发现并挖掘题目中蕴含的信息，灵活变换角度，转化为“熟悉”的问题去解决.
提能点1
新定义曲线
〔多选〕（2024·新高考Ⅰ卷11题）设计一条美丽的丝带，其造型可以看作图中的曲线C的一部分.已知C过坐标原点O，且C上的点满足：横坐标大于－2；到点F（2，0）的距离与到定直线x＝a（a＜0）的距离之积为4.则（）
A.a＝－2
B.点（22，0）在C上
C.C在第一象限的点的纵坐标的最大值为1
D.当点（x0，y0）在C上时，y0≤4
解析：ABD对于A：设曲线上的动点P（x，y），则x＞－2且（x－2）2＋y2×｜x－a｜＝4，因为曲线过坐标原点，故（0－2）2＋02×｜0－a｜＝4，解得a＝－2，故A正确.对于B：又曲线方程为（x－2）2＋y2×｜x＋2｜＝4，而x＞－2，故（x－2）2＋y2×（x＋2）＝4.当x＝22，y＝0时，（22－2）2×（22＋2）＝8－4＝4，故（22，0）在曲线上，故B正确.对于C：由曲线的方程可得y2＝16（x+2）2－（x－2）2，取x＝32，则y2＝6449－14，而6449－14－1＝6449－54＝256－24549×4＞0，故此时y2＞1，故C在第一象限内点的纵坐标的最大值大于
规律方法
对于“新定义曲线”类问题，理解“新曲线”的定义（方程）是关键，通过“新曲线”的定义（方程）结合图形，与学过的研究圆锥曲线的思路及方法进行合理联想，利用曲线与方程思想即可解决问题.
练1在平面直角坐标系xOy中，对于直线l：ax＋by＋c＝0和点P1（x1，y1），P2（x2，y2），记η＝（ax1＋by1＋c）（ax2＋by2＋c），若η＜0，则称点P1，P2被直线l分隔，若曲线C与直线l没有公共点，且曲线C上存在点P1，P2被直线l分隔，则称直线l为曲线C的一条分隔线.
（1）求证：点A（1，2），B（－1，0）被直线x＋y－1＝0分隔；
（2）若直线y＝kx是曲线x2－4y2＝1的分隔线，求实数k的取值范围；
（3）动点M到点Q（0，2）的距离与到y轴的距离之积为1，设点M的轨迹为曲线E，求证：通过原点的直线中，有且仅有一条直线是E的分隔线.
解：（1）证明：由题得η＝（1＋2－1）×（－1＋0－1）＝－4＜0，∴点A，B被直线x＋y－1＝0分隔.
（2）直线y＝kx与曲线x2－4y2＝1有公共点的充要条件是方程组y＝kx，x2－4y
∵y＝kx是曲线x2－4y2＝1的分隔线，故它们没有公共点，即｜k｜≥12
当｜k｜≥12时，对于直线y＝kx，曲线x2－4y2＝1上的点（－1，0）和（1，0）满足η＝－k2＜0，即点（－1，0）和（1，0）被y＝kx分隔
故实数k的取值范围是（－∞，－12］∪［12，＋∞
（3）证明：设M的坐标为（x，y），则曲线E的方程为x2＋（y－2）2·｜x｜＝1，即[x2＋（y－2）
对任意的y0，（0，y0）不是上述方程的解，即y轴与曲线E没有公共点.
又曲线E上的点（－1，2）和（1，2）对于y轴满足η＜0，
即点（－1，2）和（1，2）被y轴分隔.∴y轴为曲线E的分隔线.
若过原点的直线不是y轴，设其为y＝kx，由y＝kx，[x2＋（y－2）2]·x2=1，得[x2＋（kx－2）2]·x2－1＝0，令f
∵f（0）·f（2）＝（－1）·[16（k－1）2＋15]＜0，
∴方程f（x）＝0有实数解.
即直线y＝kx与曲线E有公共点，故直线y＝kx不是曲线E的分隔线.
综上，结论得证.
提能点2
新定义交汇问题
〔多选〕箕舌线因意大利著名的女数学家玛丽亚·阿涅西的深入研究而闻名于世.如图所示，过原点的动直线交定圆x2＋y2－ay＝0（a＞0）于点P，交直线y＝a于点Q，过P和Q分别作x轴和y轴的平行线交于点M，则点M的轨迹叫做箕舌线.记箕舌线函数为f（x），设∠AOQ＝θ，下列说法正确的是（）
A.f（x）是偶函数
B.点M的横坐标为xM＝a
C.点M的纵坐标为yM＝acos2θ
D.f（x）的值域是（－∞，1]
解析：AC连接AP，则AP⊥OP，圆x2＋y2－ay＝0（a＞0）的标准方程为x2＋（y－a2）2＝a24，该