第1节数列的概念与表示
【课标要求】（1）了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式）；（2）了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数.
知识点一数列的概念
1.数列的有关概念
概念
含义
数列
按照排列的一列数
数列的项
数列中的
数列的通项
数列{an}的第n项an
通项公式
数列{an}的第n项an与之间的关系式
前n项和
数列{an}中，Sn＝
提醒数列的项是指数列中某一确定的数，而项数是指数列的项对应的位置序号.
2.数列的分类及性质
3.数列的表示方法
列表法
列出表格表示n与an的对应关系
图象法
把点画在平面直角坐标系中
公式法
通项
公式
把数列的通项用表示
递推
公式
如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式
（1）（人A选二P6例5改编）已知首项为1的数列{an}中，an＋1＝1＋1an，则a5＝（
A.53 B.
C.138 D.
（2）（苏教选一P139习题9题改编）如图，在n×n的单位正方形网格中，阴影相连的正方形个数依次为1，5，9，13，则下一阴影相连的正方形个数为，这个数列的一个通项公式an＝.
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规律方法
由数列的前几项归纳通项公式应注意的4个特征
（1）分式中分子、分母的特征；
（2）相邻项的变化特征；
（3）拆项后的特征：把数列的项拆分成变化的部分和不变的部分；
（4）各项的符号特征.
练1根据下面各数列前几项的值，写出数列的一个通项公式：
（1）－1，7，－13，19，…；
（2）－11×2，12×
（3）23，415，635，8
（4）9，99，999，9999，….
知识点二由an与Sn的关系求通项公式
已知数列{an}的前n项和为Sn，则an＝S
（1）（2025·武汉调研）已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝－165，且5an＋1＋Sn＋16＝0.则数列{an}的通项公式为；
（2）已知数列{an}的前n项的和Sn＝2n－3，则此数列的通项公式an＝.
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规律方法
Sn与an关系问题的求解思路
根据所求结果的不同要求，将问题向两个不同的方向转化.
（1）利用an＝Sn－Sn－1（n≥2）转化为只含Sn，Sn－1的关系式，再求解；
（2）利用Sn－Sn－1＝an（n≥2）转化为只含an，an－1的关系式，再求解.
练2（1）已知数列{an}满足a1＋a23＋a332＋…＋an3n－1
A.3n B.3n－1
C.3n－1 D.3n－1－1
（2）设数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝3且当n≥2时，2an＝Sn·Sn－1，则{an}的通项公式an
知识点三由数列递推关系求通项公式
（1）若数列{an}满足a1＝1，an＋1＝an＋2n，则数列{an}的通项公式为an＝；
（2）已知数列{an}满足a1＝1，（2n－1）an＋1＝（2n＋1）an.则{an}的通项公式an＝.
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规律方法
1.形如an＋1－an＝f（n）的数列，利用累加法，即利用公式an＝（an－an－1）＋（an－1－an－2）＋…＋（a2－a1）＋a1（n≥2），即可求数列{an}的通项公式.
2.形如an+1an＝f（n）的数列，利用累乘法，即利用an＝a1·a2a1·a3a2·…·ana
练3（1）若数列{an}满足an＋1－an＝lg（1＋1n），且a1＝1，则数列{an}的第100项为（
A.2 B.3
C.1＋lg99 D.2＋lg99
（2）已知数列{an}中，若a1＝1，an＋1＝2nan，则an＝.
知识点四数列的函数特征
数列{an}是从正整数集N*（或它的有限子集{1，2，…，n}）到实数集R的函数，其自变量是，对应的函数值是，记为an＝f（n）.
角度1数列的周期性
无穷数列{an}满足：只要ap＝aq（p，q∈N*），必有ap＋1＝aq＋1，则称{an}为“和谐递进数列”.若{an}为“和谐递进数列”，Sn为其前n项和，且a1＝1，a2＝2，a4＝1，a6＋a8＝6，则a7＝；S2026＝.
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规律方法
解决数列周期性问题的方法
根据给出