第2节常用逻辑用语
【课标要求】（1）理解充分条件、必要条件、充要条件的意义；理解判定定理与充分条件、性质定理与必要条件、数学定义与充要条件的关系；（2）理解全称量词和存在量词的意义，能正确对两种命题进行否定.
知识点一全称量词命题和存在量词命题
1.全称量词与存在量词
（1）全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“?”表示；
（2）存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“?”表示.
2.全称量词命题和存在量词命题
名称
全称量词命题
存在量词命题
结构
对M中任意一个x，p（x）成立
存在M中的元素x，p（x）成立
简记
?x∈M，p（x）
?x∈M，p（x）
否定
?x∈M，??p（x）
?x∈M，??p（x）
提醒（1）对省略了量词的命题进行否定时，要结合命题的含义加上量词，再改变量词；（2）命题p和??p的真假性相反，若判断一个命题的真假有困难时，可先判断此命题的否定的真假.
（1）〔多选〕下列说法正确的是（AB）
A.?x∈R，ex＜ex＋1
B.命题“?x∈R，x2－2x＋3＝0”的否定为“?x∈R，x2－2x＋3≠0”
C.命题“?x＞1，都有2x＋1＞5”的否定为“?x≤1，使得2x＋1≤5”
D.“正方形是菱形”是全称量词命题，其否定为“至少有一个正方形是菱形”
解析：（1）对于A，当x＝1时，e＜e＋1成立，故A正确；对于B，命题“?x∈R，x2－2x＋3＝0”的否定为“?x∈R，x2－2x＋3≠0”，故B正确；对于C，命题“?x＞1，都有2x＋1＞5”的否定为“?x＞1，使得2x＋1≤5”，故C错误；对于D，“正方形是菱形”等价于“所有的正方形都是菱形”，是全称量词命题，其否定为“至少有一个正方形不是菱形”，故D错误.
（2）（2024·新高考Ⅱ卷2题）已知命题p：?x∈R，｜x＋1｜＞1；命题q：?x＞0，x3＝x.则（B）
A.p和q都是真命题
B.??p和q都是真命题
C.p和??q都是真命题
D.??p和??q都是真命题
解析：（2）对于命题p，取x＝－1，则有｜x＋1｜＝0＜1，故p是假命题，??p是真命题；对于命题q，取x＝1，则有x3＝13＝1＝x，故q是真命题，故选B.
规律方法
1.含量词命题的否定，一是要改写量词，二是要否定结论.
2.判定全称量词命题“?x∈M，p（x）”是真命题，需要对集合M中的每一个元素x，证明p（x）成立；要判定存在量词命题“?x∈M，p（x）”是真命题，只要在限定集合内找到一个x，使p（x）成立即可.
3.由命题真假求参数的范围，一是直接由命题的含义，利用函数的最值求参数的范围；二是利用等价命题，即p与??p的关系，转化成??p的真假求参数的范围.
练1（1）（2025·宝鸡一模）已知命题p：?x≥0，ex≥1或sinx≤1，则??p为（D）
A.?x＜0，ex＜1且sinx＞1
B.?x＜0，ex≥1或sinx≤1
C.?x≥0，ex＜1或sinx＞1
D.?x≥0，ex＜1且sinx＞1
解析：（1）命题p：?x≥0，ex≥1或sinx≤1，为全称量词命题，则??p：?x≥0，ex＜1且sinx＞1，故选D.
（2）已知命题“?x∈R，使ax2－x＋2≤0”是假命题，则实数a的取值范围是（C）
A.（－18，0） B.（0，1
C.（18，＋∞） D.（1，＋∞
解析：（2）因为命题“?x∈R，使ax2－x＋2≤0”是假命题，所以命题“?x∈R，ax2－x＋2＞0”是真命题，当a＝0时，得x＜2，不符合题意；当a≠0时，得a0，Δ=1－
知识点二充分条件、必要条件与充要条件
若p?q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件
p是q的充分不必要条件
p?q且qp
p是q的必要不充分条件
pq且q?p
p是q的充要条件
p?q
p是q的既不充分也不必要条件
pq且qp
（1）（2024·天津高考2题）设a，b∈R，则“a3＝b3”是“3a＝3b”的（C）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析：（1）由函数y＝x3是增函数可知，若a3＝b3，则a＝b；由函数y＝3x是增函数可知，若3a＝3b，则a＝b.故“a3＝b3”是“3a＝3b”的充要条件，故选C.
（2）（2024·全国甲卷理9题）设向量a＝（x＋1，x），b＝（x，2），则（C）
A.x＝－3是a⊥b的必要条件
B.x＝1＋3是a∥b的必要条件
C.x＝0是a⊥b的充分条件
D.x＝－1＋3是a∥b的充分条件
解析：（2）a⊥b?x2＋x＋2x＝0?x＝0或x＝－3，所以x＝－3是a⊥b的充分条件