极值点偏移问题
1.极值点不偏移
已知函数f（x）图象的顶点的横坐标就是极值点x0，若f（x）＝c的两根的中点刚好满足x1＋x22＝x0，即极值点在两根的正中间，也就是说极值点没有偏移.此时函数f（x）在x＝x0两侧，
（无偏移，左右对称，如二次函数）若f（x1）＝f（x2），则x1＋x2＝2x0.
2.极值点偏移
若x1＋x22≠x0，则极值点偏移，此时函数f（x）在x＝x0两侧，函数值变化快慢不同，如图
（图2左陡右缓，极值点向左偏移）若f（x1）＝f（x2），则x1＋x2＞2x0；
（图3左缓右陡，极值点向右偏移）若f（x1）＝f（x2），则x1＋x2＜2x0.
一、对称化构造函数求解极值点偏移问题
已知函数f（x）＝（x－2）ex＋a（x－1）2有两个零点，a＞0，设x1，x2是f（x）的两个零点，证明：x1＋x2＜2.
规律方法
对称化构造函数解决极值点偏移问题的步骤
（1）求导，获得f（x）的单调性，极值情况，求出f（x）的极值点x0，再由f（x1）＝f（x2）得出x1，x2的取值范围；
（2）构造辅助函数（对结论x1＋x2＞（＜）2x0，构造F（x）＝f（x）－f（2x0－x）；对结论x1x2＞（＜）x02，构造F（x）＝f（x）－f（x02x）），求导，限定范围（x1或x2的范围
（3）代入x1（x2），利用f（x1）＝f（x2）及f（x）的单调性证明最终结论.
二、比（差）值换元求解极值点偏移问题
已知函数f（x）＝xlnx，设函数g（x）＝f（x）+1x，证明：g（x1）＝g（x2）（x1＜x2）时，x1＋x
规律方法
通过代数变形将所证的双变量不等式通过代换t＝x1x2（含对数式时常用）或t＝x1－x2（含指数式时常用）化为单变量的函数不等式
1.已知函数f（x）＝2lnx＋2x2－6x－8，令g（x）＝f（x）－3x，正实数x1，x2满足g（x1）＋g（x2）＋2x1x2＝0，求x1＋x2的最小值.
2.（2025·洛阳联考）已知函数g（x）＝lnx－bx，若g（x）有两个不同的零点x1，x2.
（1）求实数b的取值范围；
（2）求证：lnx1＋lnx2＞2.