放缩法证明不等式
放缩法主要应用于不等式的证明问题中，函数与导数不等式中的放缩问题主要涉及利用基本不等式进行放缩，与ex、lnx有关的放缩及与三角函数sinx、cosx、tanx有关的放缩等.
一、利用基本不等式进行放缩
设f（x）＝ln（x＋1）＋x+1－1，求证：当x∈（0，2）时，f（x）＜9x
证明：由基本不等式，当x＞0时，（x+1）×1＜x+1+12
∴f（x）＝ln（x＋1）＋x+1－1＜ln（x＋1）＋x
记h（x）＝ln（x＋1）＋x2－9
则h（x）＝1x+1＋12－54
当0＜x＜2时，h（x）＜0，∴h（x）在（0，2）上单调递减，故h（x）＜h（0）＝0.
∴ln（x＋1）＋x2＜9
从而f（x）＜9x
规律方法
将符合如a2＋b2≥2ab（a，b∈R），a＋b≥2ab（a≥0，b≥0）的式子，利用基本不等式进行放缩后，构造函数，从而证明不等式.
二、与ex，lnx有关的放缩
已知函数f（x）＝ex－x－1.
（1）求证：f（x）≥0；
（2）当m≤1时，求证：不等式ex－mx＋cosx－2≥0在x∈[0，＋∞）上恒成立.
证明：（1）f（x）＝ex－1，当x＞0时，f（x）＞0，f（x）单调递增，当x＜0时，f（x）＜0，f（x）单调递减，
所以f（x）min＝f（0）＝0，即ex－x－1≥0，当且仅当x＝0时取等号，所以f（x）≥0.
（2）令g（x）＝ex－mx＋cosx－2，则g（x）＝ex－m－sinx，
由（1）可得ex－x－1≥0，即ex≥x＋1，
又m≤1，所以g（x）≥x＋1－1－sinx＝x－sinx.
令h（x）＝x－sinx，则h（x）＝1－cosx，
当x≥0时，h（x）≥0，所以h（x）在[0，＋∞）上单调递增，
所以当x∈[0，＋∞）时，h（x）≥h（0）＝0，
则g（x）≥0，g（x）在[0，＋∞）上单调递增，
当x∈[0，＋∞）时，g（x）≥g（0）＝0，即ex－mx＋cosx－2≥0，
所以当m≤1时，不等式ex－mx＋cosx－2≥0在x∈[0，＋∞）上恒成立.
规律方法
1.指数放缩
（1）放缩成一次函数：ex≥x＋1，ex＞x，ex≥ex；
（2）放缩成类反比例函数：ex≤11－x（x＜1），ex＜－1x（
2.对数放缩
（1）放缩成一次函数：lnx≤x－1，ln（1＋x）≤x；
（2）放缩成类反比例函数：lnx≥1－1x，ln（1＋x）≥x
三、与sinx，cosx，tanx有关的放缩
已知f（x）＝cosx，x∈［0，π2）.
（1）求证：tanx·f（x）≤x；
（2）求证：2ex·f（x）≥（1＋x）（2－x2）.
证明：（1）因为tanx·f（x）＝sinx，记g（x）＝sinx－x，则当x∈［0，π2）时，g（x）＝cosx－1≤0，所以g（x）在［0，π2）上是减函数，所以g（x）≤g（0）＝0，即tanx·f（x）≤
（2）要证明2ex·f（x）≥（1＋x）（2－x2），
即证明ex·cosx≥（1+x)(2－x2）2
因为ex≥x＋1，又由（1）可知，当x∈［0，π2）时，sinx≤x
所以excosx＝ex（1－2sin2x2）≥（x＋1）［1－2（x2）2］＝（1＋x）（1－x
故x∈［0，π2）时，2ex·f（x）≥（1＋x）（2－x2
规律方法
常见的三角函数放缩
sinx＜x（x＞0），x＜tanx（0＜x＜π2），sinx≥x－12x2，1－12x2≤cosx≤1－12
1.已知函数f（x）＝（x＋1）（ex－2）＋1x－sinx
（1）试结合ex≥x＋1和lnx≤x－1，证明：xex＞x－1x＋2
（2）求证：?x∈（0，＋∞），f（x）＞0.
证明：（1）xex＝ex＋lnx≥x＋lnx＋1，当且仅当x＋lnx＝0时等号成立.
由lnx≤x－1，得ln1x≤1x－1，即lnx≥－1x＋1，当且仅当x＝1时等号成立.故xex＞x－1
（2）因为ex≥x＋1，xex＞x－1x＋2，所以（x＋1）ex＞2x－1x＋
因为sinx≤1，所以2x－1x＋3≥2x＋2－1x＋sinx，即（x＋1）ex＞2x＋2－1x＋sin
从而（x＋1）（ex－2）＋1x－sinx＞0，即f（x）＞0
2.已知函数f（x）＝xlnx＋ax＋b在（1，f（1））处的切线为2x－2y－1＝0.
（1）求f（x）的单调区间与最小值；
（2）求证：ex＋lnx＞cosx＋sinx
解：（1）f（x）＝1＋lnx＋a，则有f（1）＝1＋a＝1，得a＝0.
又2－2f（1）－1＝0，所以f（1）＝a＋b＝12，得b＝1
故f（x）＝xlnx＋1