第2节常用逻辑用语
考试要求1.理解充分条件、必要条件、充要条件的含义.2.理解判定定理与充分条件的关系、性质定理与必要条件的关系.3.理解全称量词命题与存在量词命题的含义，能正确对两种命题进行否定.
【知识梳理】
1.充分条件、必要条件与充要条件的概念
若p?q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件
p是q的充分不必要条件
p?q且q?/p
p是q的必要不充分条件
p?/q且q?p
p是q的充要条件
p?q
p是q的既不充分也不必要条件
p?/q且q?/p
2.全称量词与存在量词
(1)全称量词：“所有”“任意”“每一个”等表示全体的词在逻辑学中称为全称量词，通常用符号“?x”表示“对任意x”.
(2)存在量词：“存在”“有的”“有一个”等表示部分或个体的词在逻辑学中称为存在量词，通常用符号“?x”表示“存在x”.
3.全称量词命题和存在量词命题
名称
全称量词命题
存在量词命题
结构
对M中任意一个x，p(x)成立
存在M中的元素x，p(x)成立
简记
?x∈M，p(x)
?x∈M，p(x)
否定
?x∈M，綈p(x)
?x∈M，綈p(x)
[常用结论与微点提醒]
1.会区别A是B的充分不必要条件(A?B且B?/A)，与A的充分不必要条件是B(B?A且A?/B)两者的不同.
2.p是q的充分不必要条件，等价于綈q是綈p的充分不必要条件.
3.含有一个量词的命题的否定规律是“改量词，否结论”.
4.命题p和綈p的真假性相反，若判断一个命题的真假有困难，可判断此命题否定的真假.
【诊断自测】
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)至少有一个三角形的内角和为π是全称量词命题.()
(2)写全称量词命题的否定时，全称量词变为存在量词.()
(3)当p是q的充分条件时，q是p的必要条件.()
(4)若已知p：x＞1和q：x≥1，则p是q的充分不必要条件.()
答案(1)×(2)√(3)√(4)√
解析(1)错误，至少有一个三角形的内角和为π是存在量词命题.
2.(教材改编)命题“三角形是等边三角形”是命题“三角形是等腰三角形”的()
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案A
解析由“三角形是等边三角形”可得到“该三角形一定是等腰三角形”，但反之不成立.
3.(教材改编)命题“有一个偶数是素数”的否定是________.
答案任意一个偶数都不是素数
4.使－2＜x＜2成立的一个充分条件是______________.(答案不唯一，写出一个即可)
答案0＜x＜2(答案不唯一)
解析只要是{x|－2＜x＜2}的一个子集都是使－2＜x＜2成立的充分条件，如－1＜x＜1，或0＜x＜2等.
考点一充分条件、必要条件的判定
例1(1)(2023·天津卷)“a2＝b2”是“a2＋b2＝2ab”的()
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分又不必要条件
答案B
解析若a2＝b2，则当a＝－b≠0时，
有a2＋b2＝2a2，2ab＝－2a2，即a2＋b2≠2ab，
所以a2＝b2?/a2＋b2＝2ab；
若a2＋b2＝2ab，则有a2＋b2－2ab＝0，
即(a－b)2＝0，所以a＝b，
则有a2＝b2，即a2＋b2＝2ab?a2＝b2.
所以“a2＝b2”是“a2＋b2＝2ab”的必要不充分条件.
(2)(2023·全国甲卷)设甲：sin2α＋sin2β＝1，乙：sinα＋cosβ＝0，则()
A.甲是乙的充分条件但不是必要条件
B.甲是乙的必要条件但不是充分条件
C.甲是乙的充要条件
D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
答案B
解析甲等价于sin2α＝1－sin2β＝cos2β，
等价于sinα＝±cosβ，
所以由甲不能推导出sinα＋cosβ＝0；
由sinα＋cosβ＝0，得sinα＝－cosβ，
平方可得sin2α＝cos2β＝1－sin2β，
即sin2α＋sin2β＝1，所以由乙可以推导出甲.
综上，甲是乙的必要不充分条件.
(3)(多选)ab＋b－a－1＝0的一个充分不必要条件可以是()
A.a＝－1 B.a＝b
C.b＝1 D.ab＝1
答案AC
解析由ab＋b－a－1＝0，可得(a＋1)(b－1)＝0，解得a＝－1或b＝1，故选AC.
感悟提升充分、必要条件的两种判定方法：
(1)定义法：根据p?q，q?p进行判断，适用于定义、定理判断性问题.
(2)集合法：根据p，q对应的集合之间的包含关系进行判断，多适用于条件中涉及参数范围的推断问题.
训练1(1)(多选)(2024·武汉调研)下列命题为真命题的是