利用导数解决函数的零点问题
【思维突破妙招】利用导数解决函数的零点问题的关键是将函数零点、方程的根、曲线交点相互转化，突出导数的工具作用，体现转化与化归的思想方法．求解此类问题的常用方法：数形结合法、零点存在定理．
技法一数形结合法探究函数零点问题
[典例1](2024·湖北武汉模拟节选)已知函数f(x)＝lnx－12ax2(a∈R)，讨论函数f(x)在区间1，
[听课记录]
含参数的函数的零点个数，可转化为方程解的个数，若能分离参数，则可将参数分离出来后，用x表示含参数的函数，作出该函数的图象，根据图象特征求参数的范围或判断零点个数，即转化为一条直线(平行于x轴)与一个复杂函数图象交点个数问题．
[跟进训练]
1．(2024·广东汕头三模)已知函数f(x)＝x(ex－ax2)，若f(x)在(0，＋∞)上只有一个零点，求a的值．
技法二借助函数的性质探究函数
的零点问题
[典例2](2022·全国乙卷)已知函数f(x)＝ln(1＋x)＋axe－x．
(1)当a＝1时，求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；
(2)若f(x)在区间(－1，0)，(0，＋∞)各恰有一个零点，求a的取值范围．
[思维流程]
[听课记录]
利用函数性质研究函数的零点，主要是根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与x轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用，解题中注意零点存在定理的灵活应用．
[跟进训练]
2．(1)(2023·全国乙卷)函数f(x)＝x3＋ax＋2存在3个零点，则a的取值范围是()
A．(－∞，－2) B．(－∞，－3)
C．(－4，－1) D．(－3，0)
(2)已知函数f(x)＝12x2－alnx，若a0，函数f(x)在区间(1，e)上恰有两个零点，求a
技法三构造函数法研究函数零点
[典例3]已知a＞0且a≠1，函数f(x)＝xaax(x＞0)．若曲线y＝f(x)与直线y
[听课记录]
解决此类问题的关键是构造函数F(x)，将函数零点(方程的根)、曲线交点相互转化，突出导数的工具作用，体现转化与化归的思想方法．
[跟进训练]
3．已知函数f(x)＝ex＋x＋4ln(2－x)．
(1)求函数f(x)的图象在点(0，f(0)