第3课时平面向量的数量积及其应用
[考试要求]1．理解平面向量数量积的含义及其物理意义．2．了解平面向量的数量积与向量投影的关系．3．掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算．4．能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系．5．会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题．
1．向量的夹角
已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作OA＝a，OB＝b，则∠AOB＝θ就是向量a与b的夹角，记作〈a，b〉，向量夹角的取值范围是__________．
当_______时，a与b垂直，记作a⊥b；
当______时，a与b共线且同向；
当______时，a与b共线且反向．
2．平面向量的数量积
定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，则数量__________________叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cosθ．
规定：0·a＝___．
3．投影向量
设a，b是两个非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，AB＝a，CD＝b，过AB的起点A和终点B，分别作CD所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到A1B1，我们称上述变换为向量a向向量b______，A1B1叫做向量a在向量b上的__________，记为___
提醒：设a，b是非零向量，它们的夹角为θ，则a在b上的投影向量为|a|cosθbb＝a
4．向量数量积的运算律
(1)a·b＝b·a．
(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c．
5．平面向量数量积的性质及其坐标表示
设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a，b的夹角．
(1)数量积：a·b＝|a||b|cosθ＝____________．
(2)模：|a|＝a·a＝_
(3)夹角：cosθ＝a·ba
(4)a⊥b的充要条件：a·b＝0?_______________．
(5)|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立)?
6．平面几何中的向量方法
(1)用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；
(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系；
(3)把运算结果“翻译”成几何关系．
7．三角形“四心”的概念
(1)重心——三角形的三条中线的交点；
(2)垂心——三角形的三条高线的交点；
(3)内心——三角形的三个内角角平分线的交点(三角形内切圆的圆心)；
(4)外心——三角形的三条边的垂直平分线的交点(三角形外接圆的圆心)．
[常用结论]
1．平面向量数量积运算的常用公式
(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2；
(2)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2．
2．有关向量夹角的两个结论
两个向量a，b的夹角为锐角?a·b＞0且a，b不共线；
两个向量a，b的夹角为钝角?a·b＜0且a，b不共线．
3．三角形的“四心”的向量形式
设O为△ABC所在平面上一点，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则
(1)O为△ABC的外心?|OA|＝|OB|＝|OC|＝a2
(2)O为△ABC的重心?OA+OB+
(3)O为△ABC的垂心?OA·OB＝OB·
(4)O为△ABC的内心?aOA＋bOB＋cOC＝0．
一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)两个向量的夹角的取值范围是0，π2
(2)两个向量的数量积是一个实数． ()
(3)若a·b＝a·c，则b＝c． ()
(4)(a·b)c＝a(b·c)． ()
二、教材经典衍生
1．(人教A版必修第二册P36练习T1改编)已知a＝(3，4)，b＝(5，12)，则a与b夹角的余弦值为()
A．6365B．65C．135
2．(人教A版必修第二册P20练习T3改编)若a·b＝－6，|a|＝8，与a方向相同的单位向量为e，则向量b在向量a上的投影向量为________．
3．(人教A版必修第二册P23习题6.2T11改编)已知向量a，b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋2b|＝________．
4．(人教A版必修第二册P24习题6.2T24改编)如图，在⊙C中，弦AB的长度为4，则AB·
考点一平面向量数量积的运算
[典例1](1)(2025·八省联考)已知向量a＝(0，1)，b＝(1，0)，则a·(a－b)＝()
A．2 B．1
C．0 D．－1
(2)已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则DE·CB的值为________，DE·
[四字解题]
读
想
算
思
在正方形ABCD中，点E是AB边上的动点，求DE·
数量积的求解方法
投影法
数量积的几何意义
数形结合
基向量
法
数量积的
运算