培优点7阿波罗尼斯圆与蒙日圆
重点解读在近几年全国各地的解析几何试题中可以发现许多试题涉及阿波罗尼斯圆、蒙日圆，这些问题聚焦了轨迹方程、定值、定点、弦长、面积等解析几何的核心问题，难度为中高档.
题型一阿波罗尼斯圆
“阿波罗尼斯圆”的定义：平面内到两个定点A(－a，0)，B(a，0)(a0)的距离之比为正数λ(λ≠1)的点的轨迹是以Cλ2＋1λ
例1(1)设A，B是平面上两点，则满足|PA||PB|＝k(其中k为常数，k0且k≠1)的点P的轨迹是一个圆，已知A(6，0)，B62，0，且k＝2，则点P所在圆M
答案x2＋y2＝3
解析设P(x，y)，由题意可得，|PA||PB|
即|PA|＝2|PB|，
则(x-6)2＋y
整理得x2＋y2＝3.
(2)已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，sinA＝2sinB，acosB＋bcosA＝2，则△ABC面积的最大值为.?
答案4
解析依题意，由sinA＝2sinB，
得|BC|＝2|AC|，acosB＋bcosA
＝a2＋c2-
即|AB|＝2，以AB边所在的直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，
设A(1，0)，B(－1，0)，C(x，y)，x≠0，
由|BC|＝2|AC|，则C的轨迹为阿波罗尼斯圆，其方程为x-532＋y2＝169
边AB上的高的最大值为43
所以(S△ABC)max＝
思维升华阿波罗尼斯圆的逆用
当题目给了一个圆的方程和一个定点，我们可以假设另一个定点，构造相同的阿氏圆，利用两圆是同一个圆，便可以求出定点的坐标.
跟踪训练1(1)如图，在等腰△ABC中，已知|AB|＝|AC|，B(－1，0)，AC边的中点为D(2，0)，则点C的轨迹所包围的图形的面积等于.?
答案4π
解析因为|AB|＝|AC|＝2|AD|，所以点A的轨迹是阿波罗尼斯圆，
易知其方程为(x－3)2＋y2＝4(y≠0).
设C(x，y)，由AC边的中点为D(2，0)，
知A(4－x，－y)，
所以C的轨迹方程为(4－x－3)2＋(－y)2＝4(y≠0)，
即(x－1)2＋y2＝4(y≠0)，
故所求的面积为4π.
(2)已知点P是圆(x－4)2＋(y－4)2＝8上的动点，A(6，－1)，O为坐标原点，则|PO|＋2|PA|的最小值为.?
答案10
解析假设A(m，n)，使得|PO|＝2|PA|，
设P(x，y)，则x2＋y2
从而可得3x2－8mx＋4m2＋3y2－8ny＋4n2＝0，从而可知圆心坐标为4m
由题意得圆3x2－8mx＋4m2＋3y2－8ny＋4n2＝0与圆(x－4)2＋(y－4)2＝8是同一个圆，
所以4m3＝4，4n3＝4，解得m＝n＝3，即A(3
所以|PO|＋2|PA|＝2(|PA|＋|PA|)≥2|AA|
＝2(6-3)2＋
当A，P，A三点共线且P在线段AA上时，等号成立.
即|PO|＋2|PA|的最小值为10.
题型二蒙日圆
在椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)上，任意两条相互垂直的切线的交点都在同一个圆上，它的圆心是椭圆的中心，半径等于椭圆长半轴与短半轴平方和的算术平方根，即x2＋y2
例2(1)蒙日圆涉及的是几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，该圆称为原椭圆的蒙日圆，若椭圆C：x2a＋2＋y2a＝1(a0)的蒙日圆的方程为x2＋y2
A.1 B.2 C.3 D.4
答案A
解析∵椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，找两个特殊点分别为(2＋a，0)，(0，a)，则两条切线分别是x＝2＋a，y＝a，这两条切线互相垂直，且两条直线的交点为P(2＋a
∴(2＋a)2＋
(2)(多选)已知焦点在x轴上的椭圆C的长轴长为4，离心率为e＝12，P为椭圆C的蒙日圆上任一点，则以下说法正确的是(
A.过点P作椭圆C的两条切线PA，PB，则有PA⊥PB
B.过点P作椭圆的两条切线，交椭圆于点A，B，O为原点，直线OP，AB的斜率分别为kOP，kAB，kOP·kAB＝－4
C.过点P作椭圆的两条切线，切点分别为A，B，则S△APB的取值范围为9
D.过点P作椭圆的两条切线，切点分别为A，B，O为原点，则S△AOB的最大值为3
答案ACD
解析由题意知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0
故a＝2，ca
所以c＝1，b2＝a2－c2＝3，
则椭圆方程为x24＋
蒙日圆的方程为x2＋y2＝7.
对于A，由蒙日圆的定义知PA⊥PB，A正确；
对于B，设P(x1，y1)，
A(x2，y2)，B(x3，y3)，
则PA的方程为x2x4
PB的方程为x3x4
两切线过点P，
故x2x14＋y2