第1节基本立体图形、简单几何体的表面积与体积
【课标要求】（1）认识柱、锥、台、球及简单组合体的结构特征，能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构；（2）知道球、棱（圆）柱、棱（圆）锥、棱（圆）台的表面积和体积的计算公式，并能解决简单的实际问题；（3）能用斜二测画法画出简单空间图形的直观图.
知识点一基本立体图形
角度1立体图形的结构特征
1.多面体的结构特征
名称
棱柱
棱锥
棱台
图形
底面
互相平行且全等
多边形
互相平行且相似
侧棱
互相平行且相等
相交于一点，但不一定相等
延长线交于一点
侧面形状
平行四边形
三角形
梯形
2.旋转体的结构特征
名称
圆柱
圆锥
圆台
球
图形
母线
互相平行且相等，垂直于底面
长度相等且相交于一点
长度相等且延长线交于一点
轴截面
全等的
矩形
全等的等腰三角形
全等的等腰梯形
圆面
侧面
展开图
矩形
扇形
扇环
（1）（人A必修二P106习题8题改编）如图，长方体ABCD-ABCD被截去体积较小的一部分，其中EH∥AD∥FG，则剩下的几何体是（C）
A.棱台 B.四棱柱
C.五棱柱 D.六棱柱
解析：（1）由于平面ABFEA∥平面DCGHD，且AD，BC，FG，EH，AD相互平行且相等，所以剩下的几何体是五棱柱.
（2）下列结论正确的是（D）
A.各个面都是三角形的几何体是三棱锥
B.夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体
C.若正棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是六棱锥
D.圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线都是母线
解析：（2）由图1知，A错误；如图2，当两个平行截面与底面不平行时，截得的几何体不是旋转体，B错误；若六棱锥的所有棱长都相等，则底面多边形是正六边形，由几何图形知，若以正六边形为底面，侧棱长必然要大于底面边长，C错误；由母线的概念知，D正确.
规律方法
辨别空间几何体的两种方法
角度2立体图形的直观图
1.画法：常用斜二测画法.
2.规则：（1）原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中x轴、y轴的夹角为45°（或135°），z轴与x轴和y轴所在平面垂直；
（2）原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴.平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半.
结论按照斜二测画法得到的平面图形的直观图与原图形面积的关系：
（1）S直观图＝24S原图形
（2）S原图形＝22S直观图.
（1）（苏教必修二P161练习4题改编）对于用斜二测画法画水平放置的图形的直观图来说，下列描述不正确的是（B）
A.三角形的直观图仍然是一个三角形
B.90°的角的直观图一定会变为45°的角
C.与y轴平行的线段长度变为原来的一半
D.由于选轴的不同，所得的直观图可能不同
解析：（1）对于A，根据斜二测画法，相交直线的直观图仍是相交直线，因此三角形的直观图仍是一个三角形，故A正确；对于B，90°的角的直观图可以变为45°或135°的角，故B错误；C、D显然正确.
（2）已知在等腰梯形ABCD中，上底CD＝1，腰AD＝CB＝2，下底AB＝3，以下底所在直线为x轴，则由斜二测画法画出的直观图ABCD的面积为22
解析：（2）法一实际图形和直观图如图1和图2所示.因为OE＝（2）2－1＝1，由斜二测画法可知OE＝12，EF＝24，DC＝1，AB＝3，则直观图ABCD的面积S
法二因为OE＝（2）2－1＝1，S原图形＝1+32×1＝2，故S直观图＝
规律方法
在斜二测画法中，要确定关键点及关键线段的位置.平行于x轴的线段的平行性不变，长度不变；平行于y轴的线段的平行性不变，长度减半.
角度3立体图形的展开图
（1）如图，在正三棱锥S-ABC中，∠BSC＝40°，BS＝2，一质点自点B出发，沿着三棱锥的侧面绕行一周回到点B的最短路线的长为（C）
A.2 B.3
C.23 D.33
解析：（1）将三棱锥S-ABC沿侧棱BS展开，其侧面展开图如图所示.一质点自点B出发，沿着三棱锥的侧面绕行一周回到点B的最短路线的长为BB，根据余弦定理得BB＝4+4+2×2×2
（2）（2025·金丽衢十二校联考）已知圆柱的轴截面面积为4，则该圆柱侧面展开图周长的最小值为8π.
解析：（2）设圆柱的母线长和底面圆半径分别为l，r，根据已知得2lr＝4，由题意可得圆柱侧面展开图的周长可以表示为l侧＝4πr＋2l≥24πr×2l＝8π，当且仅当4πr＝2l，即r＝1π，
规律方法
1.多面体表面展开图由剪开的位置不同可以有不同的形状，但图形面积相等.借助展开图可以求几何体的表面积及表面上两点间的距离，还可将部分空间问