高考真题衍生卷·命题区间5
1．C[因为f(x)＝xlnx，
则f′(x)＝lnx＋x·1x＝1＋lnx
所以f′(1)＝1＋ln1＝1，
所以limΔx→0f1+Δx-f1Δx＝
2．A[f′(x)＝ex
所以f′(0)＝3，所以曲线y＝f(x)在点(0，1)处的切线方程为y－1＝3(x－0)，即3x－y＋1＝0，则切线与两坐标轴的交点分别为(0，1)，-13，0，所以切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为12
3．A[由y＝ln(x＋a)求导可得y′＝1x+a，设切点坐标为(x1，x1)．因为直线y＝x与曲线y＝ln(x＋a)相切，所以1x1+a＝
同理由y＝ex＋b求导可得y′＝ex＋b，
设切点坐标为(x2，x2)，因为直线y＝x与函数y＝ex＋b的图象相切，
所以ex2+b＝1
所以f(x)＝ex-1＋f′(1)ln(x＋1)，f′(x)＝ex-1＋f
令x＝1得f′(1)＝1＋f12，解得f′(1)
所以f(x)＝ex-1＋2ln(x＋1)，所以f(0)＝1e．故选A．
4．D[设切点为(x0，y0)，过点P的切线方程为y＝x0+1ex0x-x0+x0ex0，代入点P坐标化简为m＝(-x02-x0-1)ex0，即这个方程有三个不等根，令f(x)＝(－x2－x－1)ex，求导得到f′(x)＝(－
故得到f(－2)mf(－1)，即m∈-3e2，-
5．BD[选项A中，由f(x0)＝f′(x0)得2x02＋3＝4x0，Δ＝－80，无解，所以函数无巧值点
选项B中，由f(x0)＝f′(x0)得1x0＝-1x02，解得x0
选项C中，由f(x0)＝f′(x0)得e-x0＝
选项D中，由f(x0)＝f′(x0)得lnx0＝1x0，函数y＝lnx与y＝1x的图象在第一象限有一个交点，方程lnx0＝1
6．C[因为y＝ex
所以y′＝ex
所以k＝y′|x＝1＝e4
所以y－e2＝e4(
所以曲线y＝exx+1在点1，e2处的切线方程为y＝e
7．(－∞，－4)∪(0，＋∞)[设切点坐标为P(x0，y0)，则y0＝x0+1eax0，y′＝eax[1＋(x＋1)a]，切线方程为y-x0+1eax0＝eax0[1＋(x0＋1)a](x－x0)，因为过原点(0，0)，代入可得-x0+1eax0＝eax0[1＋(x0＋1)a]·(－x0)，整理可得ax02＋ax0－1＝0，因为有两个不同的解，满足
8．e2－1[f′(x)＝aex－1．当a≤0时，f′(x)＜0对x∈R恒成立，此时f(x)在R上单调递减，不符合题意；当a＞0时，令f′(x)＝0得x＝－lna，当x＜－lna时，f′(x)＜0，f(x)单调递减，当x＞－lna时，f′(x)＞0，f(x)单调递增，所以当x＝－lna时，f(x)取得极小值，且极小值为f(－lna)＝ae－lna＋lna＝lna＋1．因为函数f(x)有极小值2，所以lna＋1＝2，解得a＝e，则f(x)＝ex+1－x，f′(x)＝ex+1－1，因为直线y＝kx与函数f(x)的图象相切，设切点坐标为(x0，kx0)，所以k＝ex0+1-1，kx
9．解：由y＝x＋lnx求导得y′＝1＋1x，所以y|x＝1
所以曲线y＝x＋lnx在点(1，1)处的切线方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1．
当a＝0时y＝3x＋1与y＝2x－1只有一个公共点(－2，－5)，满足题意；
当a≠0时，由y
得ax2＋(2a＋1)x＋2＝0，
由Δ＝(2a＋1)2－8a＝0，解得a＝12
综上可得，a＝0或a＝12
10．BCD[f′(x)＝3x2－1，令f′(x)0，解得x－33或x33，令f′(x)0，解得－33x
所以f(x)在-∞，-3
所以f(x)有一个极大值点，一个极小值点，故选项BC正确．
A项错在中间用了符号“∪”．
假设y＝2x－1是y＝f(x)的切线，切点为(a，b)，
则3a2-1＝
由于点(1，1)在y＝x3－x＋1上，故选项D正确．故选BCD．]
11．C[依题意，f′(x)＝aex－1x≥0在(1，2)上恒成立，即a≥1xex在(1
设g(x)＝1xex，x∈(1，2)，则g′(x)
易知当x∈(1，2)时，g′(x)0，则函数g(x)在(1，2)上单调递减，所以g(x)＜g(1)＝1e，则a≥1e＝e-1，即a的最小值为e-1．故选C
12．解：(1)证明：当t＝1时，f(x)＝e－x＋sinx＋12x2，f′(x)＝－e－x＋cosx＋x，令h(x)＝f′(x)，h′(x)＝e－x－sinx＋10
所以h(x)即f′(x)