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2025年普通高等学校招生“圆梦杯”统一模拟考试（八）
数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.已知集合，则（）
A. B. C. D.
2.若，则（）
A.1 B. C. D.2
3.设双曲线与的离心率分别为，若，则（）
A B. C.1 D.2
4.已知非零向量满足，则（）
A. B. C. D.
5.已知P为直线上一点，过点P作圆的一条切线，切点为A，则的最小值为（）
A.1 B. C. D.2
6.函数在区间的极大值点的数目为（）
A3 B.4 C.5 D.6
7.已知三台车床加工同一型号的零件，第1，2，3台车床加工的次品率分别为，，，加工出来的零件混放在一起，且第1，2，3台车床加工的零件数目之比为，现任取一个零件，记事件“零件由第1台车床加工”，“零件为次品”，则（）
A. B. C. D.
8.设直线分别交曲线与曲线于两点，若点在上，满足为等边三角形，则（）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9.样本数据0，2，3，，，7平均数为3，方差为，中位数为，则（）
A B. C. D.
10.如图，矩形中，为的中点，将沿翻折至点，得到四棱锥为的中点，则（）
A.平面
B.的长为定值
C.四棱锥体积的最大值为
D.直线与平面所成角的最大值为
11.设函数的定义域为，最小正周期为，当时，方程有15个解．记时，方程的解的个数为，则（）
A. B.
C. D.的可能取值共有3种
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12.记为等差数列的前项和，已知，则_______．
13.已知，则_______．
14.在下面的方格表中，要求该方格表的每一行，每一列及每条对角线的四个方格均包含1，2，3，4四个数字，则______．
1
2
3
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15.如图，在四棱锥中，底面为矩形，为棱的中点，交于点，且平面．
（1）证明：平面；
（2）若，求直线与平面所成角的正弦值．
16.已知椭圆的离心率为，左顶点为．
（1）求的方程；
（2）设点为上一点且在轴上方，直线分别交轴于两点．若的面积比的面积大，求点的坐标．
17.如图，在中，．
（1）求；
（2）若点在边上，，求．
18.设正整数，编号依次为的卡片顺时针摆成一圈．从1号卡片开始，沿顺时针方向将与之相邻的卡片移走，再对下一张卡片进行相同的操作．例如：在移走与1号相邻的2号卡片后，接着移走与3号相邻的4号卡片．依此循环，直到最后只剩一张卡片，记其编号为．
（1）求；
（2）设为正整数，证明：；
（3）从集合中随机抽取一个数，求的概率．
19.已知函数，记为从小到大排序第个极值点．
（1）证明：在区间的最大值为；
（2）直接判断与的大小关系并证明：为递减数列；
（3）设为正整数，为奇数，为偶数，且，证明：．