数列的奇偶项问题
数列的奇偶项问题主要考查学生的综合运用能力与探究问题能力，考查形式既有小题，也有解答题，解决此类问题的难点在于搞清数列中奇数项和偶数项各自的首项、项数、公差、公比等，特别注意分类讨论思想在解题中的灵活运用.
一、已知奇偶项
（2023·新高考Ⅱ卷18题）已知{an}为等差数列，bn＝an－6，n为奇数，2an，n为偶数.记Sn，Tn分别为数列{an}，{bn}的前n项和，
（1）求{an}的通项公式；
（2）证明：当n＞5时，Tn＞Sn.
解：（1）设等差数列{an}的首项为a1，公差为d.
因为bn＝an－6，n为奇数，2an，n
所以4
解得a
所以an＝5＋2（n－1）＝2n＋3.
（2）证明：由（1）可知，Sn＝n（a1＋an）2＝
由an＝2n＋3，得bn＝2
若n为偶数，则
Tn＝（b1＋b3＋…＋bn－1）＋（b2＋b4＋…＋bn）＝（a1－6＋a3－6＋…＋an－1－6）＋（2a2＋2a4＋…＋2an）＝（5＋9＋…＋2n＋1－3n）＋2（7＋11＋…＋2n＋3）＝（5+2n+1）×n22－3n＋2×（
所以当n＞5时，Tn－Sn＝32n2＋72n－（n2＋4n）＝12n2－12n＝12n（n
即Tn＞Sn.
若n为奇数，则n－1为偶数，则
Tn＝Tn－1＋bn＝32（n－1）2＋72（n－1）＋2n＋3－6＝32n2＋52
所以当n＞5时，
Tn－Sn＝32n2＋52n－5－（n2＋4n）＝12n2－32n－5＝12（n2－3n－10）＝12（n＋2）（
即Tn＞Sn.
综上可得，当n＞5时，Tn＞Sn.
规律方法
1.当n为偶数时，Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an－1＋an，其中奇数项、偶数项各有n2项，可直接分组求和，即Sn＝（a1＋a3＋…＋an－3＋an－1）＋（a2＋a4＋…＋an－2＋an
2.当n为奇数时，Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an－1＋an?Sn＝Sn－1＋an，其中Sn－1可利用上述结论代入，然后再快速求解Sn＝Sn－1＋an.
3.当题目条件中出现连续两项的和时，常采用减项作差法，可得数列的奇数项、偶数项所具备的性质，从而求出其通项公式.
4.当题目条件中出现连续两项的积时，常采用约项作商法，可得数列的奇数项、偶数项所具备的性质，从而求出其通项公式.
二、通项含有（－1）n型
（2025·安康模拟）已知Sn为等差数列{an}的前n项和，a2＋2a3＝13，S6＝36.
（1）求{an}的通项公式；
（2）若数列{bn}满足bn＝（－1）nan＋[（－1）n＋1]2n，求{bn}的前2n项和T2n.
解：（1）设等差数列{an}的公差为d，
由a2＋2a3＝13，S6＝36，
得3a1
所以an＝2n－1.
（2）bn＝（－1）nan＋[（－1）n＋1]2n，
当n为奇数时，bn＝（－1）nan＋[（－1）n＋1]·2n＝－an，
当n为偶数时，bn＝（－1）nan＋[（－1）n＋1]·2n＝an＋2n＋1，
又由（1）得，an＝2n－1，
所以T2n＝（a2－a1）＋（a4－a3）＋…＋（a2n－a2n－1）＋（23＋25＋…＋22n＋1）＝2n＋23（1－4n
规律方法
当题目条件中出现（－1）n时，需按照n的奇偶性分类求解.
三、通项含有三角函数型
数列{an}满足2an＋1＝an＋an＋2，a1＝1，且1a1a2＋1a2a3
（1）求数列{an}的通项公式；
解：（1）由题意可知，数列{an}是等差数列，设数列{an}的公差为d.
1a1a2＋1a2a3＋1a3a4＋…＋1anan+1＝n2n+1可转化为1d（1a1－1a2）＋
即1d（1a1－1a
即1d（1a1－1a1＋nd）＝n
即n1+nd＝
∴d＝2，∴an＝a1＋（n－1）d＝2n－1.
（2）设bn＝an·cosnπ，求数列{bn}的前n项和Sn.
解：（2）由题可得bn＝（－1）n·（2n－1），
∴Sn＝b1＋b2＋…＋bn＝－1＋3－5＋7＋…＋（－1）n（2n－1），
当n为偶数时，Sn＝2·n2＝n
当n为奇数时，Sn＝Sn－1＋bn＝n－1－（2n－1）＝－n.
综上所述，Sn＝n
规律方法
当已知条件中含有三角函数时，如本例中的cosnπ＝（－1）n，需等价转化，常用的三角函数等价转化有：（1）cosnπ＝（－1）n；（2）sin（2n－1）π2
1.已知函数f（n）＝n2，n为奇数，－n2，n为偶数，且an＝f（n）＋f（n＋1），则a1＋a
A.0 B.100
C.－100 D.10200
解析：B由题意，得a1＋a2＋a3＋…＋a100＝12－22－22＋32＋32－42－42＋52＋…＋992－1002－1002＋1012＝－