重难专攻（六）数列中的综合问题
数列可看作自变量为正整数的函数，数列的通项公式相当于函数的解析式，通过类比方程探索，会破解两个数列的子数列问题，数列与函数的综合问题，数列与不等式的综合问题.
子数列问题
【例1】已知数列{an}的前n项和Sn＝3n2＋n2，{bn}的前n项之积Tn＝2n（
（1）求{an}与{bn}的通项公式；
（2）把数列{an}和{bn}的公共项由小到大排成的数列记为{cn}，求c1＋c2＋…＋c20的值.
解：（1）由Sn＝3n
当n＝1时，a1＝S1＝2，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n－1，
当n＝1时，上式也成立，
所以an＝3n－1，
由Tn＝2n
当n＝1时，b1＝T1＝2，
当n≥2时，bn＝TnTn－
当n＝1时，上式也成立，
所以bn＝2n.
（2）数列{an}和{bn}的公共项依次为21，23，25，27，…，
所以21，23，25，27，…，构成首项为2，公比为4的等比数列，所以cn＝2×4n－1，
则c1＋c2＋…＋c20＝2×（1
解题技法
两个等差数列的公共项构成的数列是等差数列，且公差是两等差数列公差的最小公倍数，两个等比数列的公共项构成的数列是等比数列，公比是两个等比数列公比的最小公倍数.
已知{an}是公差不为零的等差数列，a5＝17，a1，a2，a7成等比数列.
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）将数列{an}与{3n}的相同的项按由小到大的顺序排列构成的数列记为{bn}，求数列{bn}的前n项和Sn.
解：（1）设等差数列的公差为d，d≠0，
由条件得a
解得a1=1，d=4，所以数列{an}的通项公式为a
（2）数列{an}和{bn}的公共项依次为32，34，36，…，即9，92，93，…，构成首项为9，公比为9的等比数列，
所以Sn＝9（1－9n）1－9
数列与不等式的综合问题
【例2】（2023·新高考Ⅱ卷18题）已知{an}为等差数列，bn＝an－6，n为奇数，2an，n为偶数.记Sn，Tn分别为数列{an}，{bn}
（1）求{an}的通项公式；
（2）证明：当n＞5时，Tn＞Sn.
解：（1）设等差数列{an}的首项为a1，公差为d.
因为bn＝an－6，n为奇数，2an，n
所以4
解得a
所以an＝5＋2（n－1）＝2n＋3.
（2）证明：由（1）可知，Sn＝n（a1＋an）2＝
由an＝2n＋3，得bn＝2
若n为偶数，则
Tn＝（b1＋b3＋…＋bn－1）＋（b2＋b4＋…＋bn）＝（a1－6＋a3－6＋…＋an－1－6）＋（2a2＋2a4＋…＋2an）＝（5＋9＋…＋2n＋1－3n）＋2（7＋11＋…＋2n＋3）＝（5+2n+1）×n22－3n＋2×（
所以当n＞5时，Tn－Sn＝32n2＋72n－（n2＋4n）＝12n2－12n＝12n（n－
即Tn＞Sn.
若n为奇数，则n－1为偶数，则
Tn＝Tn－1＋bn＝32（n－1）2＋72（n－1）＋2n＋3－6＝32n2＋5
所以当n＞5时，
Tn－Sn＝32n2＋52n－5－（n2＋4n）＝12n2－32n－5＝12（n2－3n－10）＝12（n＋2）（n
即Tn＞Sn.
综上可得，当n＞5时，Tn＞Sn.
解题技法
求解数列与不等式综合问题的步骤
（1）根据题目条件，求出数列的通项公式；
（2）根据数列项的特征，选择合适的方法（公式法、分组转化法、裂项相消法、错位相减法等）求和；
（3）利用（2）中所求得的数列的和，证明不等式或求参数的范围；
（4）反思解题过程，检验易错点，规范解题步骤.
提醒解决数列与不等式的综合问题时，若是证明题，则要灵活选择不等式的证明方法，如比较法、综合法、分析法、放缩法等；若是含参数的不等式恒成立问题，则可分离参数，转化为研究最值问题来解决.
若Sn是公差不为0的等差数列{an}的前n项和，且S1，S2，S4成等比数列，S2＝4.
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设bn＝3anan+1，Tn是数列{bn}的前n项和，求使得Tn＜m20对所有n
解：（1）设{an}的公差为d（d≠0），
则S1＝a1，S2＝2a1＋d，S4＝4a1＋6d.
因为S1，S2，S4成等比数列，
所以a1·（4a1＋6d）＝（2a1＋d）2.
所以2a1d＝d2.
因为d≠0，所以d＝2a1.
又因为S2＝4，所以a1＝1，d＝2，
所以an＝2n－1.
（2）因为bn＝3an
＝32（12n－
所以Tn＝32（1－13＋13－15＋…＋12n－1－12n
要使Tn＜m20对所有n∈N*都成立
则有m20≥32，即m
因为m∈N*，所以m的最小值为30.
数列与函数的综合问题
【例3】（2024·聊城一模）已知数列{an}中，a1＝1，nan＋1