培优点4帕德近似
分值：42分
一、单项选择题(每小题5分，共25分)
1.(2024·安康模拟)已知a=e0.2-1，b=ln1.2，c=16
A.acb B.bac
C.bca D.cba
2.若a=sin116，b=2ln3-3ln2，c=3
A.cba B.abc
C.cab D.acb
3.(2024·威海模拟)设a=110，b=ln1.21，c=10sin1
A.abc B.bac
C.cab D.cba
4.已知a=tan12，b=47，c=
A.cab B.cba
C.abc D.acb
5.已知a=110cos14，b=ln109，c
A.cab B.bca
C.abc D.acb
二、解答题(共17分)
6.(17分)(2024·绍兴模拟)帕德近似是法国数学家亨利·帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法.给定两个正整数m，n，函数f(x)在x=0处的[m，n]阶帕德近似定义为R(x)=a0+a1x+…+amxm1+b1x+…+bnxn，且满足f(0)=R(0)，f(0)=R(0)，f″(0)=R″(0)，…，f?(m+n)(0)=R(m+n)(0)
(注：f″(x)=[f(x)]，f(x)=[f″(x)]，f(4)(x)=[f(x)]，f?(5)(x)=[f?(4)(x)]，…)
(1)求实数a，b的值；(4分)
(2)当x∈(0，1)时，试比较f(x)与R(x)的大小；(5分)
(3)定义数列{an}：a1=12，anean+1=ean-1，求证：12n≤
答案精析
1.D[由帕德近似公式得
a=e0.2-1≈0.2
≈0.2214，
b=ln1.2=ln(1+0.2)
≈3×0.22+6×
c=16≈0.1667，故cba.
2.C[由帕德近似公式得
a=sin116≈6×
≈0.0625，
b=2ln3-3ln2=ln9-ln8
=ln98=ln
≈3×164+6×181
c=332≈1.73232≈0.054
∴cab.]
3.B[b=ln1.21=ln1.12=2ln1.1
≈2×3
=2×0.636.61≈0.1906
c=10sin1100≈10×
=10×0.066.0001=0.66.00010.
a=110=0.1，故bac.
4.B[a=tan12≈3×123?14=
b=47≈0.5714
c=2.023
≈2.0234×
≈0.8386，∴cba.]
5.B[由cosx，ln(x+1)，ex的帕德近似公式：
cosx≈?5x
ln(x+1)≈3x
ex≈x2
a=110cos14≈1
≈0.09689，b=ln10
≈3×181+6×1
c=0.09e0.09≈0.09×0.
≈0.09848，∴bca.]
6.(1)解由题意得
R(x)=a
=a?
R″(x)=?2b
f(0)=f(0)=f″(0)=1，
故R(0)=a-b=1，
R″(0)=-2b(a-b)=1，
解得a=12，b=-1
(2)解由上可得R(x)=1+x21?x2=2+x2?x，要比较f(x)与R
只需比较1与2+x2?xe
令g(x)=2+x2?xe-x，x∈(0
g(x)=4(2?x)
=x2(2?x)2
所以g(x)在(0，1)上单调递增，
所以g(x)g(0)=1，即2+x2?x
所以f(x)R(x).
(3)证明设u(x)=ex-x-1，
u(x)=ex-1，
当x0时，u(x)0，
u(x)在(-∞，0)上单调递减，
当x0时，u(x)0，
u(x)在(0，+∞)上单调递增，
故u(x)≥u(0)=0，即ex≥x+1，当且仅当x=0时，等号成立.
由题意知a1=12，anean+1=ean-1
则ean+1=ea
故可得an0；
ean+1-ea
=(1?a
令m(x)=(1-x)ex，x0，m(x)=-xex0，
故m(x)在(0，+∞)上单调递减，
又当x→0+时，y=(1?x)ex
故可得ean+1-
即an+1an，可得0an≤12
一方面，由(2)可得
ean+1=ean
又因为ean+1an
所以可得an+1+122?
即an+1an2?an，即1
即1an+1
故1an-12n-11a1
即1an2n-1，所以an
另一方面，当n=1时，a1=12，要证an≥12n，即证an+1≥12a
令g(x)=ex2-e?x2-
g(x)=12ex2
所以g(x)在0，
所以g(an)g(0)=0，
即ean2-e?an2-
?ean+1ean2?an