工程数学复变函数课件
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目录
01
复变函数基础
02
复变函数的积分
03
级数与乘积
04
留数定理及其应用
05
共形映射
06
特殊函数与应用
复变函数基础
章节副标题
01
复数与复平面
复数由实部和虚部组成，形式为a+bi，其中a和b是实数，i是虚数单位。
复数的定义
复平面，也称为阿尔冈图，是一个二维坐标系，横轴表示实部，纵轴表示虚部。
复平面的构建
每个复数在复平面上对应一个唯一的点，或通过点到原点的向量来表示。
复数的几何表示
复变函数定义
解析性
复数域上的函数
复变函数是定义在复数域上的函数，其自变量和因变量均为复数。
复变函数的解析性是指函数在某区域内可微分，且满足柯西-黎曼方程。
复变函数的分类
根据函数的性质，复变函数可以分为全纯函数、亚纯函数等不同类型。
解析函数概念
复数域上的可微性
解析函数在复数域内任意点可微，这是复变函数与实变函数的根本区别。
柯西-黎曼方程
解析函数的积分性质
解析函数的积分具有路径无关性，即沿闭合路径的积分为零。
解析函数必须满足柯西-黎曼方程，这是复变函数可微性的必要条件。
解析函数的几何意义
解析函数可以看作是复平面上的保角映射，保持角度和形状不变。
复变函数的积分
章节副标题
02
积分定理
柯西积分定理指出，在单连通区域内解析的函数，其沿着闭合路径的积分为零。
柯西积分定理
柯西积分公式提供了一种计算复平面上某点函数值的方法，通过路径上的积分来表达。
柯西积分公式
留数定理用于计算闭合路径内奇点的复变函数积分，通过奇点的留数来简化计算。
留数定理
积分公式
柯西积分定理是复变函数积分的基础，它表明在单连通区域内解析函数的积分为零。
柯西积分定理
柯西积分公式提供了一种计算复平面上解析函数在某点值的方法，通过函数在边界上的积分来实现。
柯西积分公式
留数定理用于计算闭合路径上的复变函数积分，通过计算路径内奇点的留数来简化积分计算。
留数定理
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02
03
应用实例
复变函数积分在电磁场理论中用于计算电势和磁场分布，如在求解拉普拉斯方程时的应用。
01
在流体力学中，复变函数积分用于描述不可压缩流体的势流问题，例如在翼型周围的流场分析。
02
量子力学中，复变函数积分用于计算波函数和概率密度，如在薛定谔方程的求解过程中。
03
在信号处理领域，复变函数积分用于分析和处理信号的频谱，如傅里叶变换中的应用。
04
电磁场理论中的应用
流体力学中的应用
量子力学中的应用
信号处理中的应用
级数与乘积
章节副标题
03
幂级数展开
泰勒级数是将一个在某点可导的函数表示成一个无穷级数，例如e^x在x=0处的展开。
泰勒级数
01
洛朗级数是复变函数的一种展开形式，它包括了泰勒级数，但可以包含负幂次项，如1/(1-z)在z=0处的展开。
洛朗级数
02
收敛半径是幂级数展开中一个重要的概念，它决定了幂级数在复平面上的收敛范围，例如sin(z)的收敛半径是无穷大。
收敛半径
03
罗朗级数
罗朗级数是复变函数在孤立奇点附近展开的一种形式，包含正幂次和负幂次项。
罗朗级数的定义
01
罗朗级数的收敛半径决定了级数在复平面上的收敛区域，收敛圆内级数绝对收敛。
收敛半径与收敛圆
02
根据罗朗级数中负幂次项的存在与否，可以将奇点分为可去奇点、极点和本性奇点。
奇点的分类
03
在复变函数理论中，罗朗级数用于研究函数在奇点附近的性质，如留数定理的应用。
罗朗级数的应用
04
乘积定理
通过洛朗级数，可以将两个函数的乘积展开为一个洛朗级数，体现了乘积定理在级数展开中的应用。
洛朗级数的乘积展开
解析函数乘积的零点是各因子零点的乘积，反映了零点在乘积中的分布规律。
零点的乘积性质
若两个函数在某区域内解析，则它们的乘积也在该区域内解析，这是复变函数乘积定理的基本内容。
解析函数的乘积
留数定理及其应用
章节副标题
04
留数概念
通过直接计算洛朗级数的负一次幂项系数，或使用留数定理计算闭合路径积分来求得留数。
留数的计算方法
留数的值可以帮助区分复平面上的奇点是可去奇点、极点还是本性奇点。
留数在极点分类中的作用
留数是复变函数在奇点附近洛朗级数展开的负一次幂项的系数。
留数的定义
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03、
留数定理
留数定理的基本概念
留数定理是复变函数理论中的一个核心结果，它提供了一种计算闭合路径上复变函数积分的简便方法。
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02
留数定理的计算步骤
计算留数通常涉及找到函数在奇点附近的洛朗级数展开，并提取出其中的-1次幂项系数。
03
留数定理在实积分中的应用
留数定理可以用来计算实变量的定积分，特别是当积分路径可以闭合成复平面中的路径时。
04
留数定理在物理问题中的应用
在电磁学和流体力学中，留数定理用于解决具有奇点的场分布问题，如电