实变函数与泛函分析基础习题
一、选择题（每题3分，共30分）。
1.设E是实数集R上的一个可数集，则mE（m表示勒贝格测度）为（）。
A.0B.+∞C.不确定D.一个非零常数。
2.下列集合中，是开集的是（）。
A.[0,1]B.Q（有理数集）C.{(x,y)∈R^2x^2+y^21}D.{0}
3.若函数列{f_n(x)}在点集E上几乎处处收敛于f(x)是指（）。
A.对任意x∈Ef_n(x)tof(x)
B.存在一个零测集E_0?E使得对任意x∈E?E_0f_n(x)tof(x)
C.对任意小的正数varepsilonlim_nto∞m{x∈E:f_n(x)-f(x)≥varepsilon}=0
D.以上都不对。
二、填空题（每题3分，共15分）。
1.康托尔集的测度为______。
2.设f(x)是定义在可测集E上的实函数，若对任意实数a集合{x∈E:f(x)a}是______，则称f(x)是E上的可测函数。
3.已知L^p空间（1≤p+∞），若函数f(x)∈L^p则满足∫_Ef(x)^pdx______（填“收敛”或“发散”）。
三、判断题（每题2分，共10分）。
1.有限个零测集的并集还是零测集。（）。
2.连续函数一定是可测函数。（）。
3.若函数列{f_n(x)}一致收敛于f(x)则一定几乎处处收敛于f(x)反之亦然。（）。
四、解答题（每题15分，共45分）。
1.设E=bigcup_n=1^∞E_nE_n是可测集，且mE_1+∞若对任意n有E_n?E_n+1证明：mE=lim_nto∞mE_n
2.设f(x)是可测集E上的可测函数，且f(x)≥0在E上几乎处处成立，定义函数列f_n(x)=min{f(x),n}证明：函数列{f_n(x)}在E上几乎处处收敛于f(x)
3.已知函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，证明：f(x)在[a,b]上是可测函数。
答案与解析。
一、选择题。
1.A。可数集的勒贝格测度为0，这是实变函数中关于测度的基本结论，因为可数集可以用一列区间覆盖，且这些区间的总长度可以任意小。
2.C。选项A是闭区间；选项B有理数集既不是开集也不是闭集，它在实数集中稠密但处处不连续；选项D单点集是闭集；而{(x,y)∈R^2x^2+y^21}满足开集定义，对于其中任意一点都能找到一个包含该点的小球完全在集合内。
3.B。函数列几乎处处收敛的定义就是存在一个零测集E_0?E使得在E?E_0上逐点收敛。A是处处收敛；C是依测度收敛的定义。
二、填空题。
1.0。康托尔集是通过不断去掉中间开区间构造的，虽然它是不可数集，但最终剩下的集合测度为0，这是其特殊的构造性质决定的。
2.可测集。这是可测函数的定义，即通过与任意实数比较生成的集合是可测的，就称原函数为可测函数，是判断函数可测性的重要依据。
3.收敛。L^p空间定义要求函数满足积分∫_Ef(x)^pdx收敛，才能说函数属于该空间，这是空间构建的基础条件。
三、判断题。
1.√。根据测度的可数可加性，有限个零测集并起来测度还是0，因为0加0还是0。
2.√。连续函数满足可测函数定义，因为对于任意实数a，{x∈E:f(x)a}是开集（由连续函数的性质），而开集是可测集，所以连续函数是可测函数。
3.×。一致收敛能推出几乎处处收敛，但几乎处处收敛不一定能推出一致收敛，反例可构造函数列说明，如f_n(x)=x^n在[0,1)上几乎处处收敛但不一致收敛。
四、解答题。
1.证明：因为E_n?E_n+1令F_n=E_n+1?E_nn=1,2,·s则E=E_1∪bigcup_n=1^∞F_n且F_n两两不交。
由测度的可数可加性有：mE=mE_1+∑_n=1^∞mF_n
又因为mE_n=mE_1+∑_k=1^n-1mF_k所以lim_nto∞mE_n=mE_1+∑_n=1^∞mF_n=mE
这里利用了测度对不交集合的可加性以及递增集合列极限的构造方式，将E拆分成已知部分和可求极限部分。
2.证明：因为f(x)≥0几乎处处成立，设零测集E_0?E使得在E?E_0上f