重难专攻（五）函数与导数中的新定义问题
1.（2024·新乡二模）函数f（x）＝[x]被称为取整函数，也称高斯函数，其中[x]表示不大于实数x的最大整数.若?m∈（0，＋∞），满足[x]2＋[x]≤m2+1m，则x的取值范围是
A.[－1，2] B.（－1，2）
C.[－2，2） D.（－2，2]
2.（2025·连云港模拟）拉格朗日中值定理是微分学的基本定理之一，定理内容如下：如果函数f（x）在闭区间[a，b]上的图象连续不间断，在开区间（a，b）内的导数为f（x），那么在区间（a，b）内至少存在一点c，使得f（b）－f（a）＝f（c）（b－a）成立，其中c叫做f（x）在[a，b]上的“拉格朗日中值点”.根据这个定理，可得函数f（x）＝（x－1）lnx在[1，2]上的“拉格朗日中值点”的个数为（）
A.0B.1 C.2D.3
3.〔多选〕（2025·南京六校联考）若函数f（x）的定义域为D，如果对D中的任意一个x，都有f（x）＞0，－x∈D，且f（－x）f（x）＝1，则称函数f（x）为“类奇函数”.若某函数g（x）是“类奇函数”，则下列命题中正确的是（）
A.若0在g（x）定义域中，则g（0）＝1
B.若g（x）max＝g（4）＝4，则g（x）min＝g（－4）＝1
C.若g（x）在（0，＋∞）上单调递增，则g（x）在（－∞，0）上单调递减
D.若g（x）的定义域为R，且函数h（x）也是定义域为R的“类奇函数”，则函数G（x）＝g（x）h（x）也是“类奇函数”
4.〔多选〕（2025·青岛一模）如图所示的太极图是由黑、白两个鱼纹组成的图案.定义：能够将圆O的周长和面积同时等分成两部分的函数称为圆O的一个“太极函数”，则下列说法中正确的是（）
A.对于任意一个圆O，其“太极函数”有无数个
B.函数f（x）＝x3－3x可以是某个圆的“太极函数”
C.正弦函数y＝sinx可以同时是无数个圆的“太极函数”
D.y＝f（x）是“太极函数”的充要条件为“y＝f（x）的图象是中心对称图形”
5.（2025·南京高三开学考试）设函数f（x）的导函数为f（x），若｜f（x）｜≤1对任意x∈D恒成立，则称函数f（x）为区间D上的“一阶有界函数”.
（1）判断函数f（x）＝sinx和g（x）＝ex是否为R上的“一阶有界函数”，并说明理由；
（2）若函数f（x）为R上的“一阶有界函数”，且f（x）在R上单调递增，设A，B为函数f（x）图象上相异的两点，直线AB的斜率为k，试判断“0＜k≤1”是否正确，并说明理由；
（3）若函数h（x）＝ex＋ax3－ex2－（a－1）x为区间[0，1]上的“一阶有界函数”，求a的取值范围.
6.“曼哈顿距离”是人脸识别中一种重要的测距方式.其定义为：如果在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），那么称d（A，B）＝｜x1－x2｜＋｜y1－y2｜为A，B两点间的曼哈顿距离.
（1）已知点N1，N2分别在直线x－2y＝0，2x－y＝0上，点M（0，2）与点N1，N2的曼哈顿距离分别为d（M，N1），d（M，N2），求d（M，N1）和d（M，N2）的最小值；
（2）已知点N是曲线y＝lnx上的动点，其中1e6≤x≤e2，点M（1，1）与点N的曼哈顿距离d（M，N）记为f（x），求f（x）的最大值.（参考数据：e∈（2.7，2.
7.（2025·洛阳模拟）固定项链的两端，在重力的作用下项链所形成的曲线是悬链线.1691年，莱布尼茨等得出“悬链线”方程为y＝c（exc＋e－xc）2，其中c为参数.当c＝1时，就是双曲余弦函数ch（x）＝ex
（1）类比正、余弦函数导数之间的关系，（sinx）＝cosx，（cosx）＝－sinx，请写出sh（x），ch（x）具有的类似的性质（不需要证明）；
（2）当x＞0时，sh（x）＞ax恒成立，求实数a的取值范围；
（3）求f（x）＝ch（x）－cosx－x2的最小值.