基本初等函数、函数与方程
指数函数、对数函数与幂函数
命题角度：(1)指数与对数的运算及其应用；(2)指数函数与对数函数的图象与性质及其应用；(3)二次函数与幂函数的图象与性质及其应用．
典例1(2024·全国甲卷理T15文T15)已知a1且1log8a-1loga
命题立意：本题属于课程学习情境，以对数为载体，考查对数的运算性质与换底公式的应用，体现了数学运算的学科素养．
思维拆解
解题思路
名师点拨
第1步：利用换底公式，换成相同底的对数．
第2步：利用对数的运算性质，化简对数．
第3步：把loga2看作一个整体解方程，进而求a．
解：因为1log8a-1loga
所以loga8－1loga4
即loga23
即3loga2－12loga
整理可得(loga2＋1)(6loga2－1)＝0．
因为a＞1，所以loga2＝16
解得a＝64．
(1)关键：利用对数换底公式，换成相同底的对数．
(2)易错：忽视对参数a的讨论致误，对于底数含有参数的对数(指数)，一般需对底数进行分类讨论．
归纳总结：对数运算的一般思路
(1)在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后用对数运算法则化简合并．
(2)将同底对数的和、差、倍合并．
(3)利用换底公式将不同底的对数式转化为同底的对数式．
典例2(2024·天津卷T5)若a＝4.2-0.3，b＝4.20.3，c＝log4.20.2，则a，b，c的大小关系为()
A．abc B．bac
C．cab D．bca
命题立意：本题以指数式和对数式为载体，考查指数、对数函数的性质，以及比较大小问题，属于课程学习情境，体现了逻辑推理、数学运算的学科素养．
思维拆解
解题思路
名师点拨
第1步：a与b同底，利用y＝4.2x的单调性比较．
第2步：比较幂和对数与0的大小．
解：因为y＝4.2x在R上单调递增，且－0.3＜0＜0.3，
所以0＜4.2-0.3＜4.20＜4.20.3，
所以0＜4.2-0.3＜1＜4.20.3，即0＜a＜1＜b．
因为y＝log4.2x在(0，＋∞)上单调递增，且0＜0.2＜1，
所以log4.20.2＜log4.21＝0，即c＜0．
所以b＞a＞c．故选B．
(1)当两个数都是指数幂或对数式时，可将其看成指数函数、对数函数或幂函数的函数值，然后利用该函数的单调性比较大小．
(2)在指数、对数中通常优先选择“－1，0，1”对所比较的数进行划分．
函数与方程
命题角度：(1)确定函数零点的个数或其存在情况；(2)已知函数零点个数或存在情况求参数的取值范围．
典例3(2024·新高考Ⅱ卷T6)设函数f(x)＝a(x＋1)2－1，g(x)＝cosx＋2ax，当x∈(－1，1)时，曲线y＝f(x)与y＝g(x)恰有一个交点，则a＝()
A．－1B．12C．1D．
命题立意：本题以二次函数、余弦函数为载体，考查函数零点问题，同时考查函数的性质，有较强的综合性，需要学生有良好的学科素养．
思维拆解
解题思路
名师点拨
方法一：令F(x)＝ax2＋a－1，G(x)＝cosx，结合偶函数F(x)，G(x)的对称性可知曲线y＝F(x)与y＝G(x)有一个交点，则该交点只能在y轴上．
方法二：分离参数法．
解：法一：令f(x)＝g(x)，得a(x＋1)2－1＝cosx＋2ax，
即ax2＋a－1＝cosx，令F(x)＝ax2＋a－1，
G(x)＝cosx，原题意等价于当x∈(－1，1)时，
曲线y＝F(x)与y＝G(x)恰有一个交点，
因为F(x)，G(x)均为偶函数，可知该交点只能在y轴上，可得F(0)＝G(0)，即a－1＝1，解得a＝2．故选D．
法二：由题意得f(x)＝g(x)，整理得a＝1+cosx1+x2，易得y＝1+cosx1+x2为偶函数，要使y＝f(x)与y＝g(x)恰有一个交点，所以两图象在x＝0处相切，即a＝1+1
(1)若按原函数的关系来研究曲线的交点，问题会很复杂，可将两函数合并后再重新组合，借助函数的图象与性质求解．
(2)正难则反：偶函数的图象关于y轴对称，若x≠0，则至少有两个零点．
归纳总结：已知函数零点情况求参数值或取值范围的方法和思路
(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数的取值范围．
(2)分离参数法：将参数分离，转化成求函数值域的问题加以解决．
(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．