第9节函数的零点与方程的解
【课标要求】（1）理解函数的零点与方程的解的联系；（2）理解函数零点存在定理，并能简单应用；（3）了解用二分法求方程的近似解.
知识点一函数的零点
1.概念
对于一般函数y＝f（x），我们把使f（x）＝0的实数x叫做函数y＝f（x）的零点.
2.函数的零点、函数的图象与x轴的交点、对应方程的根的关系
3.函数零点存在定理
如果函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f（a）f（b）＜0，那么，函数y＝f（x）在区间（a，b）内至少有一个零点，即存在c∈（a，b），使得f（c）＝0，这个c也就是方程f（x）＝0的解.
提醒（1）若连续不断的函数f（x）在定义域上是单调函数，则f（x）至多有一个零点.函数的零点不是一个“点”，而是方程f（x）＝0的实根；（2）周期函数如果有零点，则必有无穷多个零点.
角度1函数零点所在区间的判定
（1）（人A必修一P155习题2题改编）函数f（x）＝lnx－（13）x的零点所在区间为（B）
A.（0，1） B.（1，2）
C.（2，e） D.（e，3）
（2）已知x0是函数f（x）＝11－x＋lnx的一个零点，若x1∈（1，x0），x2∈（x0，＋∞），则（
A.f（x1）＜0，f（x2）＜0 B.f（x1）＞0，f（x2）＞0
C.f（x1）＞0，f（x2）＜0 D.f（x1）＜0，f（x2）＞0
解析：（1）因为y＝lnx，y＝－（13）x在（0，＋∞）上单调递增，则f（x）在（0，＋∞）上单调递增，又f（1）＝ln1－13＝－13，f（2）＝ln2－19＞lne－19＝12－19＞0，即f（1）·f（2）＜0，故f（x）在
（2）在同一坐标系中作出函数y＝lnx与y＝1x－1的图象，如图所示.由图象易知，1x1－1＞lnx1，从而lnx1－1x1－1＜0，故lnx1＋11－x1＜0，即f（x1
规律方法
1.确定函数的零点所在区间的常用方法
（1）利用函数零点存在定理：首先看函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f（a）·f（b）＜0.若有，则函数y＝f（x）在区间（a，b）内必有零点；
（2）数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断.
2.函数零点存在定理只能判断函数在某个区间上的变号零点，不满足条件时，一定要结合函数性质进行分析判断.
角度2函数零点个数的判定
（1）（苏教必修一P230练习2题改编）函数f（x）＝x2－1，x≤0
A.5 B.4
C.3 D.2
解析：（1）当x≤0时，由x2－1＝0，解得x＝－1；当x＞0时，f（x）＝x－2＋lnx在（0，＋∞）上单调递增，并且f（1）＝1－2＋ln1＝－1＜0，f（2）＝2－2＋ln2＝ln2＞0，即f（1）f（2）＜0，所以函数f（x）在区间（1，2）内必有一个零点，综上，函数f（x）的零点个数为2.
（2）（人A必修一P143例1改编）函数y＝ex＋x2＋2x－1的零点个数为（C）
A.0 B.1
C.2 D.3
解析：（2）函数y＝ex＋x2＋2x－1的零点个数即函数f（x）＝ex与g（x）＝－x2－2x＋1的图象的交点个数，在同一直角坐标系中，分别作出f（x）＝ex与g（x）＝－x2－2x＋1的图象，如图所示，由图可知，两图象有2个交点，故原函数有2个零点，故选C.
规律方法
求解函数零点个数的基本方法
（1）直接法：令f（x）＝0，方程有多少个不同的实数根，f（x）就有多少个零点；
（2）定理法：利用函数零点存在定理时往往还要结合函数的单调性、奇偶性等；
（3）图象法：一般是把函数拆分为两个简单函数，依据两函数图象的交点个数得出函数的零点个数.
练1（1）函数f（x）＝log2x＋2x－6的零点所在的区间为（n，n＋1）且n∈N，则n＝（B）
A.1 B.2
C.3 D.4
解析：（1）函数f（x）＝log2x＋2x－6的定义域为（0，＋∞），且在（0，＋∞）上单调递增，f（2）＝log22＋22－6＝－1＜0，f（3）＝log23＋23－6＝log23＋2＞0，即f（2）f（3）＜0，因此函数f（x）的唯一零点在（2，3）内，所以n＝2.
（2）（2025·三明模拟）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且f（x－2）＝f（x），当0≤x≤1时，f（x）＝x，设函数g（x）＝f（x）－log7｜x｜，则函数g（x）的零点个数为（C）
A.6 B.8
C.12 D.14
解析：（2）依题意可知，函数f（x）是定义在R上的偶函数，且f（x－2）＝f（x），所以f（x）＝f（－x）＝f（－x－2）＝f（x＋2），即函数f