第10节函数模型的应用
【课标要求】（1）了解指数函数、对数函数与一次函数增长速度的差异；（2）理解“指数爆炸”“对数增长”“直线上升”等术语的含义；（3）能选择合适的函数模型刻画现实问题的变化规律，了解函数模型在社会生活中的广泛应用.
知识点一用函数图象刻画变化过程
三种函数模型的性质
函数
性质
y＝ax（a＞1）
y＝logax（a＞1）
y＝xα（α＞0）
在（0，＋∞）上的单调性
单调递增
单调递增
单调递增
增长速度
越来越快
越来越慢
相对平稳
图象的变化
随x的增大逐渐表现为与y轴平行
随x的增大逐渐表现为与x轴平行
随α值的变化而各有不同
（1）（人A必修一P139练习4题改编）在一次实验中，某小组测得一组数据（xi，yi）（i＝1，2，…，11），并由实验数据得到散点图.由此散点图，在区间[－2，3]上，下列四个函数模型（a，b为待定系数）中，最能反映x，y函数关系的是（B）
A.y＝a＋bx B.y＝a＋bx
C.y＝a＋logbx D.y＝a＋b
解析：（1）由散点图的定义域可排除C、D选项，由散点图的增长方式可知函数模型为指数型.
（2）（2025·西安模拟）高为H，满缸水量为V的鱼缸的轴截面如图所示，若鱼缸水深为h时水的体积为v，则函数v＝f（h）的大致图象是（B）
解析：（2）由图可知水深h越大，水的体积v就越大，故函数v＝f（h）是个增函数，故排除A、C项，由鱼缸形状可知，下面细中间粗上面细，所以随着水深的增加，体积的变化的速度是先慢后快再慢，所以B正确.
规律方法
用函数图象刻画变化过程的2种方法
（1）构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象；
（2）验证法：根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案.
练1（1）已知正方形ABCD的边长为4，动点P从B点开始沿折线BCDA向A点运动.设点P运动的路程为x，△ABP的面积为S，则函数S＝f（x）的图象是（D）
解析：（1）依据题意，有S＝f（x）＝2x，0x≤4，8，4x≤8，24－2x，8x
（2）〔多选〕血药浓度是指药物吸收后在血浆内的总浓度.药物在人体内发挥治疗作用时，该药物的血药浓度应介于最低有效浓度和最低中毒浓度之间.已知成人单次服用1单位某药物后，体内血药浓度及相关信息如图所示，
根据图中提供的信息，下列关于成人服用该药物的说法中，正确的是（ABC）
A.首次服用1单位该药物，约10分钟后药物发挥治疗作用
B.每次服用1单位该药物，两次服药间隔小于2小时时，一定会产生药物中毒
C.首次服用1单位该药物，约5.5小时后第二次服用1单位该药物，可使药物持续发挥治疗作用
D.首次服用1单位该药物，3小时后再次服用1单位该药物，不会发生药物中毒
解析：（2）从图象可以看出，首次服用1单位该药物，约10分钟后药物发挥治疗作用，A正确；根据图象可知，首次服用1单位该药物，约1小时后血药浓度达到最大值，由图象可知，当两次服药间隔小于2小时时，一定会产生药物中毒，B正确；服药5.5小时时，血药浓度等于最低有效浓度，此时再服药，血药浓度增加，可使药物持续发挥治疗作用，C正确；首次服用1单位该药物4小时后与再次服用1单位该药物1小时后，血药浓度之和大于最低中毒浓度，因此一定会发生药物中毒，D错误.
知识点二已知函数模型解决实际问题
几种常见的函数模型
函数模型
函数解析式
一次函数模型
f（x）＝ax＋b（a，b为常数，a≠0）
二次函数模型
f（x）＝ax2＋bx＋c（a，b，c为常数，a≠0）
反比例函数模型
f（x）＝kx＋b（k，b为常数，k≠0
指数函数模型
f（x）＝bax＋c（a，b，c为常数，a＞0且a≠1，b≠0）
对数函数模型
f（x）＝blogax＋c（a，b，c为常数，a＞0且a≠1，b≠0）
幂函数模型
f（x）＝axα＋b（a，b，α为常数，a≠0，α≠0）
（1）（2024·北京高考7题）生物丰富度指数d＝S－1lnN是河流水质的一个评价指标，其中S，N分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d越大，水质越好.如果某河流治理前后的生物种类数S没有变化，生物个体总数由N1变为N2，生物丰富度指数由2.1提高到3.15，则（
A.3N2＝2N1 B.2N2＝3N1
C.N22＝N13
解析：（1）由题意，得S－1lnN1＝2.1，S－1lnN2＝3.15.若S不变，则2.1lnN1＝3.15lnN2，即2lnN
（2）（苏教必修一P241例4改编）根据《民用建筑工程室内环境污染控制标准》，文化娱乐场所室内甲醛浓度≤0.1