重难专攻（十三）圆锥曲线中的创新类问题
1.〔多选〕2021年3月30日，小米正式开始启用具备“超椭圆”数学之美的新logo.设计师的灵感来源于曲线C：｜x｜n＋｜y｜n＝1.其中星形线E：｜x｜23＋｜y｜23＝1常用于超轻材料的设计.
A.E关于y轴对称
B.E上的点到x轴、y轴的距离之积不超过1
C.E上的点到原点距离的最小值为1
D.曲线E所围成图形的面积小于2
2.〔多选〕在平面直角坐标系xOy中，到定点F1（－a，0），F2（a，0）距离之积等于a2（a＞0）的点的轨迹是双纽线C.若双纽线C对应的a＝2，点P（x0，y0）为双纽线C上任意一点，则下列结论正确的是（）
A.C不关于x轴对称
B.C关于y轴对称
C.直线y＝x与C只有一个交点
D.C上存在点P，使得｜PF1｜＝｜PF2｜
3.〔多选〕如图，曲线C：x3＋y3－3axy＝0（a＞0）过原点，其渐近线方程为l：x＋y＋a＝0，则（）
A.C关于直线y＝x对称
B.点（a，a）位于曲线C围成的封闭区域（阴影部分）外
C.若（x0，y0）在C上，则－a＜x0＋y0≤3a
D.曲线C在第一象限内的点到两坐标轴距离之积的最大值为9
4.Cassini卵形线是由法国天文家Jean-DominiqueCassini（1625—1712）引入的.卵形线的定义是：线上的任何点到两个固定点S1，S2的距离的乘积等于常数b2.b是正常数，设S1，S2的距离为2a，如果a＜b，就得到一个没有自交点的卵形线；如果a＝b，就得到一个双纽线；如果a＞b，就得到两个卵形线.若S1（－1，0），S2（1，0）.动点P满足｜PS1｜·｜PS2｜＝1.则动点P的轨迹C的方程为；若A和A是轨迹C与x轴交点中距离最远的两点，则△APA面积的最大值为.
5.直线族是指具有某种共同性质的直线的全体，例如k（x－2）－（y－1）＝0表示过点（2，1）且斜率存在的直线族，y＝x＋t表示斜率为1的直线族.直线族的包络曲线定义为：直线族中的每一条直线都是该曲线上某点处的切线，且该曲线上的每一点处的切线都是该直线族中的某条直线.
（1）若直线族mx＋ny＋1＝0（m，n∈R）的包络曲线是圆O：x2＋y2＝16，求m，n满足的关系式；
（2）若点M（x0，y0）不在直线族Φ：2λx－8y－λ2＝0（λ∈R）的任意一条直线上，对于给定的实数x0，求y0的取值范围和直线族Φ的包络曲线E.
6.（2024·信阳模拟）在空间解析几何中，可以定义曲面（含平面）S的方程，若曲面S和三元方程F（x，y，z）＝0之间满足：①曲面S上任意一点的坐标均为三元方程F（x，y，z）＝0的解；②以三元方程F（x，y，z）＝0的任意解（x0，y0，z0）为坐标的点均在曲面S上，则称曲面S的方程为F（x，y，z）＝0，方程F（x，y，z）＝0的曲面为S.已知空间中某单叶双曲面C的方程为x21＋y21－z24＝1，双曲面C可视为平面xOz中某双曲线的一支绕z轴旋转一周所得的旋转面，已知直线l过C上一点Q（1，1，2），且以d＝（－2，
（1）指出xOy平面截曲面C所得交线是什么曲线，并说明理由；
（2）证明：直线l在曲面C上；
（3）若过曲面C上任意一点，有且仅有两条直线，使得它们均在曲面C上.设直线l在曲面C上，且过点T（2，0，2），求异面直线l与l所成角的余弦值.
7.（2025·青岛一模）在平面内，若直线l将多边形分为两部分，多边形在l两侧的顶点到直线l的距离之和相等，则称l为多边形的一条“等线”，已知O为坐标原点，双曲线E：x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，E的离心率为2，点P为E右支上一动点，直线m与曲线E相切于点P，且与E的渐近线交于A，B两点，当PF2⊥x轴时，直线y＝1为△
（1）求E的方程；
（2）若y＝2x是四边形AF1BF2的等线，求四边形AF1BF2的面积.