第1节两个计数原理、排列与组合
【课标要求】（1）了解分类加法计数原理、分步乘法计数原理及其意义；（2）理解排列、组合的概念；（3）能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式；（4）能利用排列与组合的知识解决简单的实际问题.
知识点一两个计数原理
1.分类加法计数原理
完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法.
提醒（1）每类方法都能独立完成这件事；（2）各类方法之间是互斥的、并列的、独立的.
2.分步乘法计数原理
完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m×n种不同的方法.
提醒任何一步都不能独立完成这件事，只有各个步骤都完成了才能完成这件事.
（1）有9本不同的语文书，7本不同的数学书，5本不同的英语书，从中选出不属于同一学科的书2本，则不同的选法有（C）
A.21种 B.315种
C.143种 D.153种
解析：（1）可分三类：一类：语文、数学各1本，共有9×7＝63（种）；二类：语文、英语各1本，共有9×5＝45（种）；三类：数学、英语各1本，共有7×5＝35（种），所以共有63＋45＋35＝143（种）不同选法.
（2）（2025·日照模拟）如图，现要用5种不同的颜色对某市的4个区县地图进行着色，要求有公共边的两个地区不能用同一种颜色，则不同的着色方法种数为（C）
A.120 B.150
C.180 D.200
解析：（2）先给地区Ⅰ染色有5种选择，再给地区Ⅱ染色有4种选择，然后给地区Ⅲ染色有3种选择，最后给地区Ⅳ染色也有3种选择，综上所述，满足题意的染色方法共有5×4×3×3＝180种.
规律方法
利用两个计数原理解决应用问题的一般思路
（1）弄清完成一件事是做什么；
（2）确定是先分类后分步，还是先分步后分类；
（3）弄清分步、分类的标准是什么；
（4）利用两个计数原理求解.
练1（1）已知直线方程Ax＋By＝0，若从0，1，2，3，5，7这六个数中每次取两个不同的数分别作为A，B的值，则Ax＋By＝0可表示不同直线的条数为（）
A.11 B.15
C.22 D.25
（2）〔多选〕设从东、西、南、北四面通往山顶的路分别有2，3，3，4条，现要从一面上山，从剩余三面中的任意一面下山，则下列结论正确的是（）
A.从东面上山有20种走法
B.从西面上山有27种走法
C.从南面上山有30种走法
D.从北面上山有32种走法
答案：（1）C（2）ABD
解析：（1）当A＝0时，可表示1条直线；当B＝0时，可表示1条直线；当AB≠0时，A有5种选法，B有4种选法，可表示5×4＝20条不同的直线.由分类加法计数原理，知共可表示1＋1＋20＝22条不同的直线.
（2）若从东面上山，则上山走法有2种，下山走法有10种，由分步乘法计数原理可得共有20种走法；若从西面上山，则上山走法有3种，下山走法有9种，由分步乘法计数原理可得共有27种走法；若从南面上山，则上山走法有3种，下山走法有9种，由分步乘法计数原理可得共有27种走法；若从北面上山，则上山走法有4种，下山走法有8种，由分步乘法计数原理可得共有32种走法.故选A、B、D.
知识点二排列与组合
1.排列与组合的定义
名称
定义
排列
从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素
按照一定的顺序排成一列
组合
作为一组
2.排列数、组合数的定义、公式、性质
类别
排列数
组合数
定义
从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有不同排列的个数
从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有不同组合的个数
公式
Anm＝n（n－1）（n－2）…（n－m＋1
Cnm＝AnmA
性质
Ann＝n！，0！＝1
Anm＝
Cn0＝Cnn＝1，Cnm＝C
结论排列数、组合数常用公式
（1）Anm＝（n－m＋1）
（2）（n＋1）！－n！＝n·n！；
（3）kCnk＝n
（4）Cnm＋Cn－1m＋…＋
（1）（湘教选一P195习题9题改编）若C13x＝C132x+1（x∈N*），则A
A.5 B.20
C.60 D.120
（2）（2024·桂林模拟）从1，3，5，7中任取2个数字，从2，4中任取1个数字，可以组成没有重复数字的三位数的个数是（D）
A.8 B.12
C.18 D.72
（3）甲、乙、丙等7名学生准备利用暑假时间从A，B，C三个社区中选一个参加义务劳动，若甲、乙、丙恰好去三个不同的社区，则所有不同的选择种数为486.
解析：（1）易知x≠2x＋1，所以由组合数的性质可得x＋2x＋1＝13，解得x＝4，故A5x＝A54＝5×4×3×2＝120
（2）从1，3，5，7中任取2