认知几类特殊的函数
高考数学与高等数学知识（如高斯函数、狄利克雷函数、欧拉函数、黎曼函数等）的接轨，常以小题的形式呈现，意在考查数学抽象、逻辑推理、直观想象和数学运算等核心素养.
一、高斯函数
1.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数，例如[－2.1]＝－3，[3.1]＝3.已知函数f（x）＝2x+11+2x，则函数y＝[f（x
A.{0，1} B.（0，2）
C.（0，1） D.{－1，0，1}
解析：A法一因为f（x）＝2x+11+2x＝2x+1+2－21+2x＝2－21+2x∈（0，2），所以当f（x）∈（0，1）时，y＝[f（x）]＝0；当f（x）∈[1，2）时，y＝[f（x）]＝1.所以函数
法二因为y＝[f（x）]不可能为小数，所以排除B、C；又2x＞0，所以f（x）＝2x+11+2x＞0，所以y＝[f（x）]≠－1
2.高斯函数y＝[x]，也称为取整函数，[x]表示不超过x的最大整数.例如：[2.3]＝2，[－1.5]＝－2.则下列结论：①[－2.1]＋[1]＝－2；②[x]＋[－x]＝0；③若[x＋1]＝3，则x的取值范围是2≤x≤3；④当－1≤x＜1时，[x＋1]＋[－x＋1]的值为1，2.其中正确的结论有.（写出所有正确结论的序号）
答案：①④
解析：①[－2.1]＋[1]＝－3＋1＝－2，正确；②[x]＋[－x]＝0，错误，例如：[2.5]＝2，[－2.5]＝－3，2＋（－3）≠0；③若[x＋1]＝3，则x的取值范围是2≤x＜3，故错误；④当－1≤x＜1时，0≤x＋1＜2，0＜－x＋1≤2，∴[x＋1]＝0或1，[－x＋1]＝0或1或2，当[x＋1]＝0时，[－x＋1]＝1或2；当[x＋1]＝1时，[－x＋1]＝1或0；∴[x＋1]＋[－x＋1]的值为1，2，故正确.
二、狄利克雷函数
3.（2024·长安质检）已知著名的狄利克雷函数f（x）＝1，x∈Q，0，x∈??RQ，其中R为实数集，Q为有理数集，若m∈
A.0 B.1
C.0或1 D.无法求
解析：B若m∈Q，则f（m）＝1，所以f（f（f（m）））＝f（f（1））＝f（1）＝1.若m∈?RQ，则f（m）＝0，所以f（f（f（m）））＝f（f（0））＝f（1）＝1.故选B.
4.（多选）（2024·济宁一模）德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，函数f（x）＝1，x∈Q，0，x∈??RQ被称为狄利克雷函数
A.f（f（x））＝0
B.函数f（x）是偶函数
C.任取一个不为零的有理数T，f（x＋T）＝f（x）对任意的x∈R恒成立
D.存在三个点A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2）），C（x3，f（x3）），使得△ABC为等边三角形
解析：BCD对于A，当x为有理数时，f（x）＝1，f（f（x））＝f（1）＝1，A错误.对于B，若x∈Q，则－x∈Q；若x∈?RQ，则－x∈?RQ，所以无论x是有理数还是无理数，都有f（－x）＝f（x），即函数f（x）为偶函数，B正确.对于C，当x为有理数时，x＋T为有理数，满足f（x＋T）＝f（x）＝1；当x为无理数时，x＋T为无理数，满足f（x＋T）＝f（x）＝0，C正确.对于D，当A，B，C三点满足A（33，0），B（0，1），C（－33，0）时，△ABC为等边三角形，D
三、黎曼函数
5.（2024·渝中模拟）黎曼函数是一个特殊的函数，由德国著名的数学家波恩哈德·黎曼发现并提出，在高等数学中有着广泛的应用，其定义为：R（x）＝1
若函数f（x）是定义在R上的偶函数，且对任意x都有f（2＋x）＋f（x）＝0，当x∈[0，1]时，f（x）＝R（x），则f（lg2024）＋f（30＋20245）
A.15 B.
C.－25 D.－
解析：D由f（2＋x）＋f（x）＝0?f（2＋x）＝－f（x）?f（x＋4）＝f（x），可得f（x）的周期为4，又f（x）是定义在R上的偶函数，则f（lg2024）＝f（－lg2024）＝f（4－lg2024）＝f（lg100002024）＝R（lg100002024）＝0，f（30＋20245）＝f（2＋45）＝－f（45）＝－R（45）＝－15
6.黎曼函数是定义在[0，1]上，解析式为R（x）＝1p，x＝qp（p，q都是正整数，qp是既约真分数），0，x=0，1或[0，1]上的无理数的函数，若函数f（x）是定义在R上的奇函数，且对任意的x，都有f（2＋x）＋f（2－x）＝0，当x∈[0，1]
答案：－3
解析：因为f（2＋x）＋f（2－x）＝0，所以f（2＋x）＝－f（2－x）.因为f