第4节事件的相互独立性、条件概率与全概率公式
一、单项选择题
1.设A，B，C为三个随机事件，其中A与B互斥，B与C相互独立，则下列命题一定成立的是（）
A.A与B相互独立 B.A与C互斥
C.B与C互斥 D.B与C相互独立
2.某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨号，假设拨过了的号码不再重复，则他第3次拨号才接通电话的概率为（）
A.114 B.7
C.110 D.
3.（2024·石嘴山三模）寒假期间，甲、乙、丙、丁4名同学相约到A，B，C，D4个不同的社区参加志愿服务活动，每人只去一个社区，设事件A＝“4个人去的社区各不相同”，事件B＝“甲独自去一个社区”，则P（A｜B）＝（）
A.332 B.3
C.29 D.
4.某张试卷由两位陈老师、一位张老师共同命制，其中第8题从三位老师中随机抽取一位进行命题.已知若由张老师命题，学生答对这道题的概率是45；若由（任意一位）陈老师命题，学生答对这道题的概率是710.那么学生答对第8题的概率是（
A.18 B.11
C.712 D.
5.（2025·武汉模拟）设某公路上经过的货车与客车的数量之比为2∶1，货车中途停车修理的概率为0.02，客车中途停车修理的概率为0.01，今有一辆汽车中途停车修理，则该汽车是货车的概率为（）
A.0.8 B.0.6
C.0.5 D.0.3
6.若将整个样本空间看成一个边长为1的正方形，任何事件都对应样本空间的一个子集，且事件发生的概率对应子集的面积.则如图所示的阴影部分的面积表示（）
A.事件A发生的概率
B.事件B发生的概率
C.在事件B不发生的条件下事件A发生的概率
D.事件A，B同时发生的概率
7.（2022·全国乙卷理10题）某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立.已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为p1，p2，p3，且p3＞p2＞p1＞0.记该棋手连胜两盘的概率为p，则（）
A.p与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关
B.该棋手在第二盘与甲比赛，p最大
C.该棋手在第二盘与乙比赛，p最大
D.该棋手在第二盘与丙比赛，p最大
二、多项选择题
8.一个盒中装有质地、大小、形状完全相同的3个白球和4个红球，依次从中抽取两个球，规定：若第一次取到的是白球，则不放回，继续抽取下一个球；若第一次取到的是红球，则放回后继续抽取下一个球.下列说法正确的是（）
A.第二次取到白球的概率是19
B.“取到两个红球”和“取到两个白球”互为对立事件
C.“第一次取到红球”和“第二次取到红球”互为独立事件
D.已知第二次取到的是红球，则第一次取到的是白球的概率是7
9.（2024·南京、盐城一模）有n（n∈N*，n≥10）个编号分别为1，2，3，…，n的盒子，1号盒子中有2个白球和1个黑球，其余盒子中均有1个白球和1个黑球.现从1号盒子任取一球放入2号盒子；再从2号盒子任取一球放入3号盒子；…；以此类推，记“从i号盒子取出的球是白球”为事件Ai（i＝1，2，3，…，n），则（）
A.P（A1A2）＝13 B.P（A1｜A2）＝
C.P（A1＋A2）＝79 D.P（A10）＝
三、填空题
10.已知P（A）＝0.4，P（B｜A）＝0.2，P（B｜A）＝0.3，则P（B）＝.
11.如图，已知电路中4个开关每个闭合的概率都是12，且是相互独立的，则灯亮的概率为
12.（2024·辽宁二模）某运动员在亚运会田径比赛中准备参加100米、200米两项比赛，根据以往成绩分析，该运动员100米比赛未能获得奖牌的概率为12，200米比赛未能获得奖牌的概率为310，两项比赛都未能获得奖牌的概率为110，若该运动员在100米比赛中获得了奖牌，则他在200米比赛中也获得奖牌的概率为
四、解答题
13.（2025·景德镇模拟）世界杯小组赛中，A，B，C，D四支球队被分到同一组进行循环赛（每两队间进行一场比赛，获胜的球队积3分，平局两队各积1分，落败的球队积0分）.已知四支球队实力相当，每支球队在每场比赛中胜、负、平的概率分别为0.4，0.4，0.2.
（1）求A队踢完三场比赛后积分不少于6分的概率；
（2）求四支球队比完后积分相同的概率.
14.人工智能的一个基本原理：首先确定先验概率，然后通过计算得到后验概率，使先验概率得到修正和校对，再根据后验概率做出推理和决策，由此我们可以设计如下试验：有完全相同的甲、乙两个袋子，袋子里有形状和大小完全相同的小球，其中甲袋中有9个红球和1个白球，乙袋中有2个红球和8个白球.从这两个袋子中选择一个袋子，再从该袋子中摸出一个球，称为一次试验.若多次试验直到摸出红球，则试验结束.假设首次试验选到甲袋或乙袋的概率均为12（先验概率
（1）求首次试验结束