第1节两个计数原理、排列与组合
【课标要求】（1）了解分类加法计数原理、分步乘法计数原理及其意义；（2）理解排列、组合的概念；（3）能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式；（4）能利用排列与组合的知识解决简单的实际问题.
知识点一两个计数原理
1.分类加法计数原理
完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝种不同的方法.
提醒（1）每类方法都能独立完成这件事；（2）各类方法之间是互斥的、并列的、独立的.
2.分步乘法计数原理
完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝种不同的方法.
提醒任何一步都不能独立完成这件事，只有各个步骤都完成了才能完成这件事.
（1）有9本不同的语文书，7本不同的数学书，5本不同的英语书，从中选出不属于同一学科的书2本，则不同的选法有（）
A.21种 B.315种
C.143种 D.153种
（2）（2025·日照模拟）如图，现要用5种不同的颜色对某市的4个区县地图进行着色，要求有公共边的两个地区不能用同一种颜色，则不同的着色方法种数为（）
A.120 B.150
C.180 D.200
听课记录
规律方法
利用两个计数原理解决应用问题的一般思路
（1）弄清完成一件事是做什么；
（2）确定是先分类后分步，还是先分步后分类；
（3）弄清分步、分类的标准是什么；
（4）利用两个计数原理求解.
练1（1）已知直线方程Ax＋By＝0，若从0，1，2，3，5，7这六个数中每次取两个不同的数分别作为A，B的值，则Ax＋By＝0可表示不同直线的条数为（）
A.11 B.15
C.22 D.25
（2）〔多选〕设从东、西、南、北四面通往山顶的路分别有2，3，3，4条，现要从一面上山，从剩余三面中的任意一面下山，则下列结论正确的是（）
A.从东面上山有20种走法
B.从西面上山有27种走法
C.从南面上山有30种走法
D.从北面上山有32种走法
知识点二排列与组合
1.排列与组合的定义
名称
定义
排列
从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素
按照排成一列
组合
作为一组
2.排列数、组合数的定义、公式、性质
类别
排列数
组合数
定义
从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有的个数
从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有的个数
公式
Anm＝n（n－1）（n－2）…（n－m＋1
Cnm＝AnmA
性质
Ann＝，0！＝，An
Cn0＝Cnn＝1，Cnm＝C
结论排列数、组合数常用公式
（1）Anm＝（n－m＋1）
（2）（n＋1）！－n！＝n·n！；
（3）kCnk＝n
（4）Cnm＋Cn－1m＋…＋
（1）（湘教选一P195习题9题改编）若C13x＝C132x+1（x∈N*），
A.5B.20C.60D.120
（2）（2024·桂林模拟）从1，3，5，7中任取2个数字，从2，4中任取1个数字，可以组成没有重复数字的三位数的个数是（）
A.8 B.12 C.18 D.72
（3）甲、乙、丙等7名学生准备利用暑假时间从A，B，C三个社区中选一个参加义务劳动，若甲、乙、丙恰好去三个不同的社区，则所有不同的选择种数为.
听课记录
规律方法
1.在解决有关排列数Anm及组合数Cnm的问题时，数字计算多用连乘形式；结论证明多用阶乘形式，但都要注意条件
2.区分一个问题是排列还是组合，关键是看所选元素之间是否与顺序有关：与顺序有关的为排列，与顺序无关的为组合.
练2（1）化简：C43＋C53＋C6
A.C20244
C.C20245－1 D
（2）（2024·青岛模拟）6个人分5张无座足球票，每人至多分1张，而且票必须分完，那么不同的分法种数是（）
A.C65 B
C.5！ D.65
（3）一条铁路线原有n个车站，为了适应客运需要，新增加了2个车站，客运车票增加了58种，则原有车站个.
提能点
排列与组合的综合应用
角度1相邻与相间问题
（1）现有10名学生排成一排，其中4名男生，6名女生，若有且只有3名男生相邻排在一起，则不同的排法共有（）
A.A62A72种
C.A33A62A
（2）（2024·双鸭山模拟）某智能手机的开机密码是六位数字，现甲准备将六位数202403中的6个数字打乱顺序设为开机密码，若要求两个2不相邻，两个0相邻，则不同的开机密码总