第4节事件的相互独立性、条件概率与全概率公式
【课标要求】（1）了解两个事件相互独立的含义；（2）理解随机事件的独立性和条件概率的关系，会利用全概率公式计算概率.
知识点一相互独立事件
1.概念：设A，B为任意两个事件，若P（AB）＝，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立.
2.性质：若事件A与B相互独立，那么A与B，A与B，A与B也都相互独立.
3.相互独立事件的概率公式的推广：若事件A1，A2，…，An相互独立，则P（A1A2…An）＝P（A1）P（A2）…P（An）.
结论（1）事件A与事件B是互斥事件，则A与B不相互独立；
（2）当P（A）＞0时，事件A与B相互独立的充要条件是P（B｜A）＝P（B）.
（1）（2025·菏泽一模）盒中有4个大小相同的小球，其中2个红球、2个白球，第一次在盒中随机摸出2个小球，记下颜色后放回，第二次在盒中也随机摸出2个小球，记下颜色后放回.设事件A＝“两次均未摸出红球”，事件B＝“两次均未摸出白球”，事件C＝“第一次摸出的两个球中有红球”，事件D＝“第二次摸出的两个球中有白球”，则（）
A.A与B相互独立
B.A与C相互独立
C.B与C相互独立
D.C与D相互独立
（2）（2024·和平二模）为铭记历史、缅怀先烈，增强爱国主义情怀，某学校开展共青团知识竞赛活动.在最后一轮晋级比赛中，甲、乙、丙三名同学回答一道有关团史的问题，每个人回答正确与否互不影响.已知甲回答正确的概率为12，甲、丙两人都回答正确的概率是13，乙、丙两人都回答正确的概率是16.若规定三名同学都回答这个问题，则甲、乙、丙三名同学中至少有1
听课记录
规律方法
解相互独立事件问题的步骤
练1（1）抛掷一枚质地均匀的硬币n次，记事件A＝“n次中既有正面朝上又有反面朝上”，B＝“n次中至多有一次正面朝上”，下列说法不正确的是（）
A.当n＝2时，P（AB）＝1
B.当n＝2时，事件A与事件B不相互独立
C.当n＝3时，P（A＋B）＝7
D.当n＝3时，事件A与事件B不相互独立
（2）甲和乙两位同学准备在体育课上进行一场乒乓球比赛，假设甲对乙每局获胜的概率都为13，比赛采取三局两胜制（当一方获得两局胜利时，该方获胜，比赛结束），则甲获胜的概率为
知识点二条件概率
1.概念：一般地，设A，B为两个随机事件，且P（A）＞0，我们称P（B｜A）＝为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称条件概率.
2.两个公式：（1）利用古典概型：P（B｜A）＝；
（2）概率的乘法公式：P（AB）＝.
提醒P（AB）＝P（A）P（B）只有在事件A，B相互独立时，公式才成立，此时P（B）＝P（B｜A）.
3.性质：（1）P（Ω｜A）＝1；
（2）如果B和C是两个互斥事件，则P（B∪C｜A）＝P（B｜A）＋P（C｜A）；
（3）设B和B互为对立事件，则P（B｜A）＝1－P（B｜A）.
（1）（2024·曲靖模拟）已知P（M）＝0.4，P（N｜M）＝0.5，则P（MN）＝（）
A.0.4 B.0.6
C.0.1 D.0.2
（2）已知甲同学在上学途中要经过两个路口，在第一个路口遇到红灯的概率为0.5，两个路口连续遇到红灯的概率为0.4，则甲同学在第一个路口遇到红灯的条件下，第二个路口遇到红灯的概率是；
（3）（2024·天津高考13题）A，B，C，D，E五种活动，甲、乙都要选择三个活动参加.甲选到A的概率为；已知乙选了A活动，他再选择B活动的概率为.
听课记录
规律方法
条件概率的两种求解方法
练2（1）已知事件A，B，C满足A，B是互斥事件，且P（（A∪B）｜C）＝12，P（BC）＝112，P（C）＝14，则P（A｜C
A.16B.112C.14
（2）〔多选〕抛掷两颗质地均匀的骰子，其中白色骰子与黑色骰子各一颗，记事件A为“白色骰子的点数为4或5”，事件B为“两颗骰子点数之和大于8”，则下列结论正确的是（）
A.P（A）＝13 B.P（B）＝
C.P（B｜A）＝56 D.P（A｜B）＝
（3）在某次美术专业测试中，若甲、乙、丙三人获得优秀等级的概率分别是0.6，0.8和0.5，且三人的测试结果相互独立，则测试结束后，在甲、乙、丙三人中恰有两人没达优秀等级的前提条件下，乙没有达优秀等级的概率为.
知识点三全概率公式
一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P（Ai）＞0，i＝1，2，…，n，则