第2节常用逻辑用语
【课标要求】（1）理解充分条件、必要条件、充要条件的意义；理解判定定理与充分条件、性质定理与必要条件、数学定义与充要条件的关系；（2）理解全称量词和存在量词的意义，能正确对两种命题进行否定.
知识点一全称量词命题和存在量词命题
1.全称量词与存在量词
（1）全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“”表示；
（2）存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“”表示.
2.全称量词命题和存在量词命题
名称
全称量词命题
存在量词命题
结构
对M中任意一个x，p（x）成立
存在M中的元素x，p（x）成立
简记
否定
?x∈M，??p（x）
提醒（1）对省略了量词的命题进行否定时，要结合命题的含义加上量词，再改变量词；（2）命题p和??p的真假性相反，若判断一个命题的真假有困难时，可先判断此命题的否定的真假.
（1）〔多选〕下列说法正确的是（）
A.?x∈R，ex＜ex＋1
B.命题“?x∈R，x2－2x＋3＝0”的否定为“?x∈R，x2－2x＋3≠0”
C.命题“?x＞1，都有2x＋1＞5”的否定为“?x≤1，使得2x＋1≤5”
D.“正方形是菱形”是全称量词命题，其否定为“至少有一个正方形是菱形”
（2）（2024·新高考Ⅱ卷2题）已知命题p：?x∈R，｜x＋1｜＞1；命题q：?x＞0，x3＝x.则（）
A.p和q都是真命题
B.??p和q都是真命题
C.p和??q都是真命题
D.??p和??q都是真命题
听课记录
规律方法
1.含量词命题的否定，一是要改写量词，二是要否定结论.
2.判定全称量词命题“?x∈M，p（x）”是真命题，需要对集合M中的每一个元素x，证明p（x）成立；要判定存在量词命题“?x∈M，p（x）”是真命题，只要在限定集合内找到一个x，使p（x）成立即可.
3.由命题真假求参数的范围，一是直接由命题的含义，利用函数的最值求参数的范围；二是利用等价命题，即p与??p的关系，转化成??p的真假求参数的范围.
练1（1）（2025·宝鸡一模）已知命题p：?x≥0，ex≥1或sinx≤1，则??p为（）
A.?x＜0，ex＜1且sinx＞1
B.?x＜0，ex≥1或sinx≤1
C.?x≥0，ex＜1或sinx＞1
D.?x≥0，ex＜1且sinx＞1
（2）已知命题“?x∈R，使ax2－x＋2≤0”是假命题，则实数a的取值范围是（）
A.（－18，0） B.（0，1
C.（18，＋∞） D.（1，＋∞
知识点二充分条件、必要条件与充要条件
若p?q，则p是q的条件，q是p的条件
p是q的条件
p?q且q?/p
p是q的必要不充分条件
p是q的充要条件
p?q
p是q的既不充分也不必要条件
p?/q且q?/p
（1）（2024·天津高考2题）设a，b∈R，则“a3＝b3”是“3a＝3b”的（）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
（2）（2024·全国甲卷理9题）设向量a＝（x＋1，x），b＝（x，2），则（）
A.x＝－3是a⊥b的必要条件
B.x＝1＋3是a∥b的必要条件
C.x＝0是a⊥b的充分条件
D.x＝－1＋3是a∥b的充分条件
听课记录
规律方法
充分、必要条件的三种判定方法
（1）定义法：根据p?q，q?p是否成立进行判断；
（2）集合法：根据p，q成立对应的集合之间的包含关系进行判断；
（3）等价转化法：对所给题目的条件进行一系列的等价转化，直到转化成容易判断充分、必要条件是否成立为止.
练2（1）（2023·全国甲卷理7题改编）若直线l1：xtanθ＋y－2＝0，l2：xtanθ＋ytanθ＋3＝0，则“θ＝3π4”是“直线l1与l2垂直”的（
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
（2）（2025·张家界一模）王安石在《游褒禅山记》中说过一段话：“世之奇伟、瑰怪，非常之观，常在于险远，而人之所罕至焉，故非有志者不能至也”.从数学逻辑角度分析，“有志”是“能至”的（）
A.充分条件B.必要条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
提能点
充分条件、必要条件的探究与应用
充分、必要条件与对应集合之间的关系
设A＝{x｜p（x）}，B＝{x｜q（x）}：
（1）若A?B，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；
（2）若A?B，则p是q的充分不必要条件，