第四节平面向量的数量积及应用
1.理解平面向量数量积的概念及其物理意义，会计算平面向量的数量积.
2.了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义.
3.会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.
4.能用坐标表示平面向量的数量积、平面向量垂直的条件，会表示两个平面向量的夹角.
5.会用向量方法解决简单的平面几何问题、力学问题以及其他实际问题，体会向量在解决数学和实际问题中的作用.
1.若向量a＝（1，1），b＝（0，－1），则a与b的夹角等于（）
A.－3π4 B.
C.5π4
解析：Dcos＜a，b＞＝a·b｜a｜·｜b｜＝－12×1＝－22，又因为＜a，b＞∈[0，π]，所以＜a
2.已知向量a＝（2，4），b＝（－6，m），若a⊥（a＋b），则m＝（）
A.－2 B.－1
C.0 D.3
解析：A因为a＝（2，4），b＝（－6，m），a＋b＝（－4，4＋m），由a⊥（a＋b），得－8＋4×（m＋4）＝0，所以m＝－2.
3.在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，P为AB边的中点，则CP·BD＝（）
A.－1 B.－3
C.1 D.3
解析：A由已知CP＝CB＋BP＝－AD－12AB，BD＝AD－AB，又｜AB｜＝2，｜AD｜＝3，AB·AD＝0，所以CP·BD＝（－AD－12AB）·（AD－AB）＝－AD·AD＋12AB·AB＝－3＋2＝－1.所以CP·
4.已知｜a｜＝5，｜b｜＝4，a与b的夹角θ＝120°，则向量b在向量a上的投影向量的模为.
答案：2
解析：由数量积的定义知，向量b在向量a上的投影向量的模为｜｜b｜cosθ｜＝｜4×cos120°｜＝2.
1.平面向量数量积运算的常用公式
（1）（a＋b）·（a－b）＝a2－b2；
（2）（a±b）2＝a2±2a·b＋b2.
2.有关向量夹角的两个结论
（1）两个向量a与b的夹角为锐角，则有a·b＞0，反之不成立（因为夹角为0时不成立）；
（2）两个向量a与b的夹角为钝角，则有a·b＜0，反之不成立（因为夹角为π时不成立）.
1.已知a，b为非零向量，则“a·b＞0”是“a与b的夹角为锐角”的条件.（填“充分不必要”“必要不充分”或“充要”）
答案：必要不充分
解析：由结论2可得“a·b＞0”是“a与b的夹角为锐角”的必要不充分条件.
2.若非零向量a，b满足｜a｜＝2｜b｜＝｜a＋2b｜，则a，b的夹角为.
答案：2
解析：因为｜a＋2b｜2＝（a＋2b）2，由结论1得｜a＋2b｜2＝a2＋4a·b＋4b2＝｜a｜2＋4｜a｜｜b｜cos＜a，b＞＋4｜b｜2＝8｜b｜2＋8｜b｜2cos＜a，b＞＝4｜b｜2，解得cos＜a，b＞＝－12，所以a，b的夹角为2
平面向量数量积的基本运算
1.（2023·全国乙卷6题）正方形ABCD的边长是2，E是AB的中点，则EC·ED＝（）
A.5 B.3
C.25 D.5
解析：B法一由题意知，EC＝EB＋BC＝12AB＋AD，ED＝EA＋AD＝－12AB＋AD，所以EC·ED＝（12AB＋AD）·（－12AB＋AD）＝｜AD｜2－14｜AB｜2，由题意知｜AD｜＝｜AB｜＝2，所以
法二以点A为坐标原点，AB，AD的方向分别为x，y轴的正方向建立平面直角坐标系，则E（1，0），C（2，2），D（0，2），则EC＝（1，2），ED＝（－1，2），EC·ED＝－1＋4＝3，故选B.
2.（2022·全国乙卷3题）已知向量a，b满足｜a｜＝1，｜b｜＝3，｜a－2b｜＝3，则a·b＝（）
A.－2 B.－1
C.1 D.2
解析：C由｜a－2b｜＝3，可得｜a－2b｜2＝a2－4a·b＋4b2＝9，又｜a｜＝1，｜b｜＝3，所以a·b＝1，故选C.
3.（2022·全国甲卷13题）设向量a，b的夹角的余弦值为13，且｜a｜＝1，｜b｜＝3，则（2a＋b）·b＝
答案：11
解析：（2a＋b）·b＝2a·b＋b2＝2｜a｜·｜b｜·cos＜a，b＞＋｜b｜2＝2×1×3×13＋32＝
4.在△ABC中，C＝π2，AC＝BC＝2，M为边AC的中点，若点P在边AB上运动（点P可与A，B重合），则MP·CP的最小值为
答案：7
解析：法一如图，以C为坐标原点，建立平面直角坐标系，则C（0，0），A（0，2），B（2，0），M（0，1），依题意可设P（x，2－x），0≤x≤2，则MP＝（x，1－x），CP＝（x，2－x），所以MP·CP＝（x，1－x）·（x，2－x）＝2x2－3x＋2＝2（x－34）2＋78≥78.故MP·CP
法二取MC的中点为Q，连接PQ，则｜QC｜＝12，所以MP·CP＝PM·PC＝PQ2－QC2＝PQ2－14≥