隐圆问题
有这样一类有关圆的题目，条件中没有直接给出有关圆的信息，而是以隐性的形式出现，处理这类题目的关键在于能否把“隐形圆”找出来，一方面可以利用圆的几何性质，从“形”的角度找出来，例如：定义法、定角（动点P对两定点A，B的张角是直角）、定理（四点共圆定理）等；另一方面，可以从“数”的角度找出来，例如：圆的普通方程、定值法（已知两定点A，B，动点P满足PA·PB是定值、PAPB是定值）等
一、利用圆的定义（方程）确定隐圆
（1）已知平面内一个动点A和两个定点B，C满足｜BC｜＝5，△ABC的边AB上的中线长为3，则动点A的轨迹方程为；
（2）已知A，B是圆O：x2＋y2＝1上的动点，｜AB｜＝3，P是圆C：（x－2）2＋（y－1）2＝94上的动点，则｜PA＋PB｜的取值范围是
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规律方法
对于动点的轨迹问题，一是利用曲线（圆、椭圆、双曲线、抛物线等）的定义识别动点的轨迹，二是利用直接法求出方程，通过方程识别轨迹.
二、由圆周角的性质（垂直关系）确定隐圆
（1）在平面直角坐标系xOy中，直线l1：kx－y＋2＝0与直线l2：x＋ky－2＝0相交于点P，则当实数k变化时，点P到直线x－y－4＝0的距离的最大值为（）
A.2 B.22
C.32 D.42
（2）已知点P（2，t），Q（2，－t）（t＞0），若圆C：（x＋2）2＋（y－3）2＝1上存在点M，使得∠PMQ＝90°，则实数t的取值范围是（）
A.[4，6]B.（4，6）
C.（0，4）∪[6，＋∞） D.（0，4）∪（6，＋∞）
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规律方法
利用圆的性质，即可得到若PA⊥PB或∠APB＝90°，则点P的轨迹是以AB为直径的圆.注意轨迹中要删除不满足条件的点.
三、由向量关系确定隐圆
（1）在平面直角坐标系xOy中，A（－12，0），B（0，6），点P在圆O：x2＋y2＝50上，若PA·PB≤20，则点P的横坐标的取值范围是；
（2）已知点A（2，3），点B（6，－3），点P在直线3x－4y＋3＝0上，若满足等式AP·BP＋2λ＝0的点P有两个，则实数λ的取值范围是.
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规律方法
两点A，B，动点P满足PA·PB＝λ，确定隐圆.特别地，若A，B为定点，且MA·MB＝0，则点M的轨迹是以AB为直径的圆.
四、由平方关系确定隐圆
在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：（x－a）2＋（y－a＋2）2＝1，点A（0，2），若圆C上存在点M，满足｜MA｜2＋｜MO｜2＝10，则实数a的取值范围是.
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变式在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：（x＋1）2＋y2＝2，点A（2，0），若圆C上存在点M，满足｜MA｜2＋｜MO｜2≤10，则点M的纵坐标的取值范围是.
规律方法
两定点A，B，动点P满足｜PA｜2＋｜PB｜2＝λ，确定隐圆.
五、由两定点A，B，动点P满足｜PA｜｜PB｜＝λ（λ＞0，λ≠1
（1）已知点M与两个定点O（0，0），A（3，0）的距离之比为12，则点M的轨迹方程为（）
A.（x＋1）2＋y2＝4 B.x2＋（y＋1）2＝4
C.（x＋1）2＋y2＝2 D.x2＋（y＋1）2＝2
（2）已知点P是圆（x－4）2＋（y－4）2＝8上的动点，A（6，－1），O为坐标原点，则｜PO｜＋2｜PA｜的最小值为.
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规律方法
1.到两定点距离之比等于已知数的动点轨迹为直线或圆，如图，点A，B为两定点，动点P满足｜PA｜＝λ｜PB｜.则当λ＝1时，动点P的轨迹为直线；当λ＞0且λ≠1时，动点P的轨迹为圆，后世称之为阿波罗尼斯圆.
2.阿波罗尼斯圆的逆用：当题目给了一个圆的方程和一个定点，我们可以假设另一个定点，构造相同的阿氏圆，利用两圆是同一个圆，便可以求出定点的坐标.
1.已知点A（－1，0），B（1，