第十三讲协方差相关系数和矩的概念*第1页，共26页，星期日，2025年，2月5日四、第2页，共26页，星期日，2025年，2月5日问题对于二维随机变量(X,Y):已知联合分布边缘分布这说明对于二维随机变量，除了每个随机变量各自的概率特性以外，相互之间可能还有某种联系.问题是用一个什么样的数去反映这种联系.数反映了随机变量X,Y之间的某种关系第3页，共26页，星期日，2025年，2月5日协方差、相关系数和矩第十三讲*第4页，共26页，星期日，2025年，2月5日一、协方差的定义与性质1、定义称为X,Y的协方差.记为1）若(X,Y)为离散型r.v.，则2）若(X,Y)为连续型r.v.，则第5页，共26页，星期日，2025年，2月5日2、协方差的简单性质1）2）3）第6页，共26页，星期日，2025年，2月5日Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)可见，若X与Y独立，Cov(X,Y)=0.3.计算协方差的一个简单公式由协方差的定义及期望的性质，可得Cov(X,Y)=E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}=E(XY)-E(X)E(Y)-E(Y)E(X)+E(X)E(Y)=E(XY)-E(X)E(Y)即特别地*第7页，共26页，星期日，2025年，2月5日若X1,X2,…,Xn两两独立,，上式化为D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y)4.随机变量和的方差与协方差的关系*第8页，共26页，星期日，2025年，2月5日协方差的大小在一定程度上反映了X和Y相互间的关系，但它还受X与Y本身度量单位的影响.例如：Cov(kX,kY)=k2Cov(X,Y)为了克服这一缺点，对协方差进行标准化，这就引入了相关系数.*第9页，共26页，星期日，2025年，2月5日二、相关系数的定义与性质1、定义若D(X)0,D(Y)0,称为X,Y的相关系数，记为第10页，共26页，星期日，2025年，2月5日2、相关系数的性质1）2）存在a（不为0）及b使P(Y=aX+b)=1注：1）的大小是X,Y之间线性关系的一种度量。2）称X,Y不相关，不相关表示X,Y之间不存在线性关系，但不排除有其他关系。3）称X,Y完全线性相关（详细证明自看,见教材.）第11页，共26页，星期日，2025年，2月5日3）X,Y线性不相关X,Y相互独立X,Y线性不相关即由并不一定能推出X和Y独立.请看下例.第12页，共26页，星期日，2025年，2月5日例设X服从(-1/2,1/2)内的均匀分布,而Y=cosX,因而=0，即X和Y线性不相关.但X和Y不独立.不难求得，Cov(X,Y)=0，事实上，X的密度函数*第13页，共26页，星期日，2025年，2月5日但对下述情形，独立与不相关等价若(X,Y)服从二维正态分布，则X与Y独立X与Y不相关前面，我们已经看到：若X与Y独立，则X与Y不相关，但由X与Y不相关，不一定能推出X与Y独立.*第14页，共26页，星期日，2025年，2月5日三、有关例题求Cov(X,Y),?XY10pqXP10pqYP例1已知X,Y的联合分布律为0p1p+q=1解10pqXYPXY1010p00q第15页，共26页，星期日，2025年，2月5日第16页，共26页，星期日，2025年，2月5日例2设?~U(0,2?),X=cos?,Y=cos(?+?),?是给定的常数，求?XY解第17页，共26页，星期日，2025年，2月5日第18页，共26页，星期日，2025年，2月5日