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第25天利用导数研究函数零点问题（确保120分）
十年高考（新课标1卷）
考查阐述（考点、考向、交汇点等）
试题难度（低，中，高）
2015
根据零点性质求参数
中
2016
根据零点个数求参数
高
2017
根据零点个数求参数
高
2018
证明零点的个数
高
2019
证明零点的个数
高
2020
证明零点的性质
高
2021
证明零点的个数
高
2022
根据零点个数求参数
高
2023
根据零点个数求参数
中
2024
判断零点个数
高
命题热度预测2025
利用导数研究函数的零点是高考必考内容，从历年高考来看，解答题居多，涉及求解函数的零点、零点的个数、求参等问题，难度较大，是高考中的热点问题.预计2025年高考仍然会对函数零点问题进行考查，要引起重视.
【2015新课标Ⅰ卷】
1．设函数，其中，若存在唯一的整数，使得，则的取值范围是（???）
A． B． C． D．
【答案】D
【难度】0.4
【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数研究函数的零点、函数综合
【分析】设，，问题转化为存在唯一的整数使得满足，求导可得出函数的极值，数形结合可得且，由此可得出实数的取值范围.
【详解】设，，
由题意知，函数在直线下方的图象中只有一个点的横坐标为整数，
，当时，；当时，.
所以，函数的最小值为.
又，.
直线恒过定点且斜率为，
故且，解得，故选D.
【点睛】本题考查导数与极值，涉及数形结合思想转化，属于中等题.
【2016新课标I卷】
2．已知函数.
（Ⅰ）讨论的单调性；
（Ⅱ）若有两个零点，求的取值范围.
【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）.
【难度】0.4
【知识点】利用导数研究函数的零点、含参分类讨论求函数的单调区间
【分析】（Ⅰ）先求得再根据1,0,2a的大小进行分类确定的单调性；（Ⅱ）借助第（Ⅰ）问的结论,通过分类讨论函数的单调性,确定零点个数,从而可得a的取值范围为.
【详解】（Ⅰ）
当，则当时，；当时，.
所以f（x）在单调递减，在单调递增.
当，由得x=1或x=ln（-2a）.
①若，则，所以在单调递增.
②若，则ln（-2a）＜1,故当时，；
当时，，所以在单调递增，在单调递减.
③若，则，故当时，，
当时，，所以在单调递增，在单调递减.
（Ⅱ）当，则由（Ⅰ）知，在单调递减，在单调递增.
又，取b满足b＜0且，
则，所以有两个零点.
当a=0，则，所以只有一个零点.
当a＜0，若，则由（Ⅰ）知，在单调递增.
又当时，＜0，故不存在两个零点；
若，则由（Ⅰ）知，在单调递减，在单调递增.又当时＜0，故不存在两个零点.
综上，a的取值范围为.
【考点】函数单调性，导数应用
【名师点睛】本题第（Ⅰ）问是用导数研究函数单调性,对含有参数的函数单调性的确定,通常要根据参数进行分类讨论,要注意分类讨论的原则：互斥、无漏、最简；第（Ⅱ）问是求参数取值范围,由于这类问题常涉及导数、函数、不等式等知识,越来越受到高考命题者的青睐,解决此类问题的思路是构造适当的函数,利用导数研究函数的单调性或极值破解.
【2017新课标I卷】
3．已知函数
（1）讨论的单调性；
（2）若有两个零点，求的取值范围.
【答案】（1）见解析；（2）.
【难度】0.15
【知识点】利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的零点
【详解】试题分析：（1）讨论单调性，首先进行求导，发现式子特点后要及时进行因式分解，再对按，进行讨论，写出单调区间；（2）根据第（1）问，若，至多有一个零点.若，当时，取得最小值，求出最小值，根据，，进行讨论，可知当时有2个零点.易知在有一个零点；设正整数满足，则.由于，因此在有一个零点.从而可得的取值范围为.
试题解析：（1）的定义域为，，（ⅰ）若，则，所以在单调递减.
（ⅱ）若，则由得.
当时，；当时，，所以在单调递减，在单调递增.
（2）（ⅰ）若，由（1）知，至多有一个零点.
（ⅱ）若，由（1）知，当时，取得最小值，最小值为.
①当时，由于，故只有一个零点；
②当时，由于，即，故没有零点；
③当时，，即.
又，故在有一个零点.
设正整数满足，则.
由于，因此在有一个零点.
综上，的取值范围为.
点睛:研究函数零点问题常常与研究对应方程的实根问题相互转化.已知函数有2个零点求参数a的取值范围，第一种方法是分离参数，构造不含参数的函数，研究其单调性、极值、最值，判断与其交点的个数，从而求出a的取值范围；第二种方法是直接对含参函数进行研究，研究其单调性、极值、最值，注意点是若有2个零点，且函数先减后增，则只需其最小值小于0，且后面还需验证最小值两边存在大于