重难专攻(七)数列中的创新性问题
【重点解读】随着高考改革的不断深入,高考也由单纯的知识考查转变为能力、素养的全面考查,特别是对学生数学思维能力、归纳探索能力有了更高的要求,数列中的创新性问题因其情境设置新颖,考查角度灵活多变等特点,已经成为了新高考数学的“新宠”.
提能点1
数列的新情境问题
九连环是中国最杰出的益智游戏.九连环由九个相互连接的环组成,这九个环套在一个中空的长形柄中,九连环的玩法就是要将这九个环从柄上解下来,规则如下:如果要解下(或安上)第n号环,则第(n-1)号环必须解下(或安上),n-1往前的都要解下(或安上)才能实现,记解下n连环所需的最少移动步数为an,已知a1=1,a2=2,an=an-1+2an-2+1(n≥3),则解六连环最少需要移动圆环步数为.
听课记录
规律方法
对于新情境问题,关键是要从问题情境中寻找“重要信息”,即研究对象的本质特征、数量关系(数量化的特征)等,建立数学模型求解.
练1(2022·新高考Ⅱ卷3题)图1是中国古代建筑中的举架结构,AA,BB,CC,DD是桁,相邻桁的水平距离称为步,垂直距离称为举.图2是某古代建筑屋顶截面的示意图,其中DD1,CC1,BB1,AA1是举,OD1,DC1,CB1,BA1是相等的步,相邻桁的举步之比分别为DD1OD1=0.5,CC1DC1=k1,BB1CB1=k2,AA1BA1=k3.已知k1,k2,k
A.0.75 B.0.8
C.0.85 D.0.9
提能点2
定义“新数列”(新概念、新性质、新运算)
已知Q:a1,a2,…,ak为有穷整数数列.给定正整数m,若对任意的n∈{1,2,…,m},在Q中存在ai,ai+1,ai+2,…,ai+j(j≥0),使得ai+ai+1+ai+2+…+ai+j=n,则称Q为m—连续可表数列.
(1)判断Q:2,1,4是否为5—连续可表数列?是否为6—连续可表数列?说明理由;
(2)若Q:a1,a2,…,ak为8—连续可表数列,求证:k的最小值为4;
(3)若Q:a1,a2,…,ak为20—连续可表数列,且a1+a2+…+ak<20,求证:k≥7.
规律方法
定义“新数列”问题的特点是通过给出一个新概念,或约定一种新运算、新性质来创设全新的问题情境,要求考生在阅读理解的基础上,依据题目提供的信息,联系所学的知识和方法,实现信息的迁移,达到灵活解题的目的.遇到新定义问题,应耐心读题,分析新定义的特点,弄清新定义的性质,按新定义的要求,“照章办事”,逐条分析、验证、运算,使问题得以解决.
练2已知有限数列{an},若满足|a1-a2|≤|a1-a3|≤|a1-a4|≤…≤|a1-am|,m是项数,则称{an}满足性质p.
(1)判断数列3,2,5,1和4,3,2,5,1是否满足性质p,请说明理由;
(2)若数列{an}是a1=1,公比为q的等比数列,项数为10,且满足性质p,求q的取值范围.
提能点3
新定义交汇题
已知函数y=f(x),对于数列{an},{bn},若an=f(n),f(bn)=n,则称{an}为函数y=f(x)的“生成数列”,{bn}为函数y=f(x)的一个“源数列”.
(1)已知f(x)=x,{an}为函数y=f(x)的“生成数列”,{bn}为函数y=f(x)的“源数列”,求a4+b2;
(2)已知f(x)=ex,{bn}为函数y=f(x)的“源数列”,求证:对任意正整数n,均有bn≤(n-1)2;
(3)已知f(x)=2x+x,{an}为函数y=f(x)的“生成数列”,{bn}为函数y=f(x)的“源数列”,{an}与{bn}的公共项按从小到大的顺序构成数列{cn},试问在数列{cn}中是否存在连续三项构成等比数列?请说明理由.
规律方法
数列与其他知识交汇的新定义问题一般涉及到数列与函数、导数的交汇,数列与概率统计的交汇,数列与集合的交汇等,解决此类新定义问题应抓住两知识交汇时的共同关键特征(变量的离散性),将其他知识情境下的新定义、新运算、新性质转化为数列运算和推理论证.
练3(2025·荆州一模节选)对于数列{xn},如果存在一个正整数m,使得对任意n(n∈N*),都有xn+m=xn成立,那么就把这样的一类数列{xn}称作周期为m的周期数列,m的最小值称作数列{xn}的最小正周期,简称周期.
(1)判断数列xn=sinnπ和yn=2,n=1,3,n=2,y
(2)设(1)中数列{yn}的前n项和为Sn,试问是否存在p,q,使对任意n∈N*,都有p≤(-1)n·Snn≤q成立?若存在,求出p,q的取值范围;若不存在,
提示:完成课后作业第六章重难专攻(七)