重难专攻(七)数列中的创新性问题
1.宋代制酒业很发达,为了存储方便,酒缸是要一层一层堆起来的,形成堆垛,用简便的方法算出堆垛中酒缸的总数,古代称之为堆垛术,有这么一道关于“堆垛”求和的问题:将半径相等的圆球堆成一个三角垛,底层是每边为n个圆球的三角形,向上逐层每边减少一个圆球,顶层为一个圆球,记自上而下第n层的圆球总数为an,容易发现:a1=1,a2=3,a3=6,则a10-a5=()
A.45B.40C.35D.30
2.(2025·佳木斯模拟)科学家牛顿用“作切线”的方法求函数的零点时,给出了“牛顿数列”,其定义是:对于函数f(x),若数列{xn}满足xn+1=xn-f(xn)f(xn),则称数列{xn}为牛顿数列,若函数f(x)=x2,数列{xn}为牛顿数列且x1=2,an=log2
A.8 B.2
C.-6 D.-4
3.几位大学生响应国家的创业号召,开发了一款应用软件,为激发大家学习数学的兴趣,他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动,这款软件的激活码为下面数学问题的答案:已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,…,其中第一项是20,接下来的两项是20,21,再接下来的三项是20,21,22,依此类推.求满足如下条件的最小整数N:N>55且该数列的前N项和为2的整数幂,那么该款软件的激活码是()
A.95 B.105
C.115 D.125
4.〔多选〕(2025·北京人大附中模拟)已知数列{an}满足:对任意的n∈N*,总存在m∈N*,使得Sn=am,则称{an}为“回旋数列”.以下结论中正确的是()
A.若an=2025n,则{an}为“回旋数列”
B.设{an}为等比数列,且公比q为有理数,则{an}为“回旋数列”
C.设{an}为等差数列,当a1=1,公差d<0时,若{an}为“回旋数列”,则d=-1
D.若{an}为“回旋数列”,则对任意n∈N*,总存在m∈N*,使得an=Sm
5.(2025·潍坊模拟)若项数为n的数列{an}满足:ai=an+1-i(i=1,2,3,…,n),我们称其为n项的“对称数列”.例如:数列1,2,2,1为4项的“对称数列”;数列1,2,3,2,1为5项的“对称数列”.设数列{cn}为2k+1项的“对称数列”,其中c1,c2,…,ck+1是公差为2的等差数列,数列{cn}的最大项等于8,记数列{cn}的前2k+1项和为S2k+1,若S2k+1=32,则k=.
6.(2025·沈阳模拟)已知数列{an},令bk为a1,a2,…,ak中的最大值(k=1,2,…,n),则称数列{bn}为{an}的“控制数列”,{bn}中不同数的个数称为“控制数列”{bn}的“阶数”,例如:{an}为1,3,5,4,2,则“控制数列”{bn}为1,3,5,5,5,其“阶数”为3,若{an}由1,2,3,4,5任意顺序构成,则使“控制数列”{bn}的“阶数”为2的所有{an}的个数为.
7.(2024·新高考Ⅰ卷19题节选)设m为正整数,数列a1,a2,…,a4m+2是公差不为0的等差数列,若从中删去两项ai和aj(i<j)后剩余的4m项可被平均分为m组,且每组的4个数都能构成等差数列,则称数列a1,a2,…,a4m+2是(i,j)—可分数列.
(1)写出所有的(i,j),1≤i<j≤6,使得数列a1,a2,…,a6是(i,j)—可分数列;
(2)当m≥3时,证明:数列a1,a2,…,a4m+2是(2,13)—可分数列.
8.在无穷数列{an}中,令Tn=a1a2·…·an,若?n∈N*,Tn∈{an},则称{an}对前n项之积是封闭的.
(1)试判断:任意一个无穷等差数列{an}对前n项之积是否是封闭的?
(2)设{an}是无穷等比数列,其首项a1=2,公比为q.若{an}对前n项之积是封闭的,求出q的两个值;
(3)证明:对任意的无穷等比数列{an},总存在两个无穷数列{bn}和{cn},使得an=bn·cn(n∈N*),其中{bn}和{cn}对前n项之积都是封闭的.
9.基本不等式可以推广到一般的情形:对于n个正数a1,a2,…,an,它们的算术平均数不小于它们的几何平均数,即a1+a2+…+ann≥na1a2…an,当且仅当a1=a2=…=an时,等号成立.若无穷正项数列{an}同时满足下列两个条件:①?M>0,a
(1)若an=n+4n2,求数列{an}
(2)若bn=12n-1,记Sn=∑i=1nbi,判断数列{S
(3)若cn=(1+1n)n,求证:数列{cn}具有性质P