平面向量与三角形的“四心”
在三角形中，重心、内心、垂心和外心简称“四心”，它们与向量知识的整合，既自然又表达形式多样，在新高考试题中，总会出现一些与“四心”相关的既新颖又别致的试题，不仅考查了向量的表示与运算、性质等知识点，而且培养了考生“以向量为工具”的逻辑推理能力.
一、平面向量与三角形的重心
（1）已知点O为△ABC所在平面内一点，若动点P满足OP＝OA＋λ（AB＋AC）（λ≥0），则动点P的轨迹一定经过△ABC的（）
A.外心 B.内心
C.垂心 D.重心
（2）在△ABC中，O为△ABC的重心，若BO＝λAB＋μAC，则λ－2μ＝.
听课记录
规律方法
设O是△ABC的重心，P为平面内任意一点，则有以下结论：
（1）OA＋OB＋OC＝0；
（2）PO＝13（PA＋PB＋PC
（3）动点P满足AP＝λ（AB＋AC）或OP＝OA＋λ（AB＋AC），λ∈[0，＋∞），则动点P经过三角形的重心.
二、平面向量与三角形的垂心
（1）P是△ABC所在平面上一点，若PA·PB＝PB·PC＝PC·PA，则P是△ABC的（）
A.外心B.内心
C.重心 D.垂心
（2）已知O是平面上的一定点，A，B，C是平面上不共线的三个动点，点P满足OP＝OA＋λAB｜AB｜cosB＋AC｜AC｜cosC（λ
A.重心 B.外心
C.垂心 D.内心
听课记录
规律方法
设O是△ABC的垂心，P为平面内任意一点，则有以下结论：
（1）OA·OB＝OB·OC＝OC·OA；
（2）｜OA｜2＋｜BC｜2＝｜OB｜2＋｜CA｜2＝｜OC｜2＋｜AB｜2；
（3）动点P满足AP＝λ（AB｜AB｜cosB＋AC｜AC｜cosC）或OP＝OA＋λ（AB｜AB｜cosB
三、平面向量与三角形的内心
（1）若△ABC的三边为a，b，c，有a·OA＋b·OB＋c·OC＝0，则O为△ABC的（）
A.外心 B.内心
C.重心 D.垂心
（2）在△ABC中，AB＝5，AC＝6，cosA＝15，O是△ABC的内心，若OP＝xOB＋yOC，其中x，y∈[0，1]，则动点P的轨迹所覆盖图形的面积为（
A.1063 B
C.43 D.62
听课记录
规律方法
设O是△ABC的内心，P为平面内任意一点，则有以下结论：
（1）｜AB｜·OC＋｜BC｜·OA＋｜CA｜·OB＝0（或aOA＋bOB＋cOC＝0，其中a，b，c分别是△ABC的三边BC，AC，AB的长）；
（2）动点P满足AP＝λ（AB｜AB｜＋AC｜AC｜）或OP＝OA＋λ（AB｜AB｜＋AC｜AC｜）
四、平面向量与三角形的外心
（1）在△ABC中，设AC2－AB2＝2AM·BC，那么动点M的轨迹必经过△ABC的（
A.垂心 B.内心
C.外心 D.重心
（2）已知点G是△ABC内任意一点，若点D是△ABC的底边BC的中点，满足GD·GB＝GD·GC，则点G的轨迹经过△ABC的（填：重心、内心、垂心或外心）.
听课记录
规律方法
设O是△ABC的外心，则有以下结论：
（1）｜OA｜＝｜OB｜＝｜OC｜?OA2＝OB2＝
（2）（OA＋OB）·AB＝（OB＋OC）·BC＝（OA＋OC）·AC＝0.
1.已知点P是△ABC的重心，则AP＝（）
A.16AB＋16AC B
C.23AC＋13BC D
2.（2025·贵阳模拟）已知在△ABC中，H为△ABC的垂心，O是△ABC所在平面内一点，且OA＋OB＝CH，则以下正确的是（）
A.点O为△ABC的内心
B.点O为△ABC的外心
C.∠ACB＝90°
D.△ABC为等边三角形
3.（2025·淮北一模）已知点A，B，C是平面上不共线的三点，点O为△ABC的外心，动点P满足条件：OP＝13[（1－λ）OA＋（1－λ）OB＋（1＋2λ）OC]（λ∈R，λ≠0），则点P的轨迹一定经过△ABC的（）
A.内心 B.垂心
C.重心 D.AB边的中点
4.〔多选〕数学家欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，此直线被称为三角形的欧拉线，该定理则被称为欧拉线定理.设点O，G，H分别是△ABC的外心、重心、垂心，且M为BC的中点，则（